Question

【題目】如圖，在矩形中，為中點，以為邊作正方形，邊交于點．在邊上取點使，作交于點，交于點．

（1）請你利用該圖解釋平方差公式：．

（2）現以點為圓心，為半徑作圓弧交線段于點，連接．若點在同一直線上，求的值？

（3）記的面積為，圖中四邊形的面積為，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）3；（3）

【解析】

（1）分別利用a和b表示出S矩形ADLM和陰影部分的面積，然后根據S矩形ADLM=S矩形ADHE＋S矩形EHLM =S矩形EHCB＋S矩形LNGC=S陰影，即可證出結論；

（2）連接AG，利用平行證出△AML∽△GNL，然后列出比例式即可求出結論；

（3）連接PF，則PF=EF=a，HF=b，且a=3b，根據面積公式求出和即可求出結論．

解：（1）由圖可知：AE=BE=BG=a，EM=b

由題已知：四邊形ADLM、ADHE、EHCB、EHLM、LNGC都為矩形，四邊形EFGB、HFNL都為正方形，CG=EM=b，BC=a－b且S矩形ADHE=S矩形EHCB，S矩形EHLM= S矩形LNGC

∴S矩形ADLM =AD·AM= BC·AM=（a－b）（a＋b）

圖中陰影部分的面積=S正方形EFGB－S正方形HFNL=a2－b2

∵S矩形ADLM=S矩形ADHE＋S矩形EHLM =S矩形EHCB＋S矩形LNGC=S陰影

∴（a－b）（a＋b）= a2－b2

（2）連接AG，由題意可知，AG必過點L，

∵AM∥GN

∴△AML∽△GNL

∴

即

解得：a=3b

∴=3；

（3）連接PF，則PF=EF=a，HF=b，且a=3b

∴PH=

∴=PH·EH=·（a－b）=

=a（a－b）=

∴=