Question

【題目】如圖，折疊邊長為a的正方形ABCD，使點C落在邊AB上的點M處（不與點A，B重合），點D落在點N處，折痕EF分別與邊BC、AD交于點E、F，MN與邊AD交于點G．證明：

（1）△AGM∽△BME；

（2）若M為AB中點，則==；

（3）△AGM的周長為2a．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

試題分析：（1）根據正方形的性質和折疊的性質得出∠A=∠B，∠AGM=∠BME，再利用相似三角形的判定證明即可；

（2）設BE=x，利用勾股定理得出x的值，再利用相似三角形的性質證明即可；

（3）設BM=x，AM=a﹣x，利用勾股定理和相似三角形的性質證明即可．

證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A=∠B=∠C=90°，

∴∠AMG+∠AGM=90°，

∵EF為折痕，

∴∠GME=∠C=90°，

∴∠AMG+∠BME=90°，

∴∠AGM=∠BME，

在△AGM與△BME中，

∵∠A=∠B，∠AGM=∠BME，

∴△AGM∽△BME；

（2）∵M為AB中點，

∴BM=AM=，

設BE=x，則ME=CE=a﹣x，

在Rt△BME中，∠B=90°，

∴BM2+BE2=ME2，即（）2+x2=（a﹣x）2，

∴x=a，

∴BE=a，ME=a，

由（1）知，△AGM∽△BME，

∴===，

∴AG=BM=a，GM=ME=a，

∴==；

（3）設BM=x，則AM=a﹣x，ME=CE=a﹣BE，

在Rt△BME中，∠B=90°，

∴BM2+BE2=ME2，即x2+BE2=（a﹣BE）2，

解得：BE=﹣，

由（1）知，△AGM∽△BME，

∴==，

∵C△BME=BM+BE+ME=BM+BE+CE=BM+BC=a+x，

∴C△AGM=C△BME=（a+x）=2a．