Question

如圖，拋物線y=x²﹣2x+c的頂點A在直線l：y=x﹣5上．

（1）求拋物線頂點A的坐標；
（2）設拋物線與y軸交于點B，與x軸交于點C．D（C點在D點的左側），試判斷△ABD的形狀；
（3）是否存在一點P，使以點P、A．B．D為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）A（1，﹣4）；（2）△ABD是直角三角形；
（3）存在，P（﹣2，﹣7），P（4，﹣1），P（2.1）

試題分析：（1）先根據拋物線的解析式得出其對稱軸方程，由此得到頂點A的橫坐標，然后代入直線l的解析式中即可求出點A的坐標．
（2）由A點坐標可確定拋物線的解析式，進而可得到點B的坐標．則AB、AD、BD三邊的長可得，然后根據邊長確定三角形的形狀．
（3）若以點P、A、B、D為頂點的四邊形是平行四邊形，應分①AB為對角線、②AD為對角線兩種情況討論，然后結合勾股定理以及邊長的等量關系列方程求出P點的坐標．
（1）∵頂點A的橫坐標為，且頂點在y=x﹣5上，
∴當x=1時，y=1-5=-4，
∴A（1，-4）．
（2）將A（1，-4）代入y=x²-2x+c，可得，1-2+c=-4，c=-3，
∴y=x²-2x-3，
∴B（0，-3）
當y=0時，x²-2x-3=0，x₁=-1，x₂=3
∴C（-1，0），D（3，0），
∵BD²=OB²+OD²=18，AB²=（4-3）²+1²=2，AD²=（3-1）²+4²=20，
∴BD²+AB²=AD²，
∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．
（3）由題意知：直線y=x-5交y軸于點E（0，-5），交x軸于點F（5，0）
∴OE=OF=5，
又∵OB=OD=3
∴△OEF與△OBD都是等腰直角三角形
∴BD∥l，即PA∥BD
則構成平行四邊形只能是PADB或PABD，如圖，
過點P作y軸的垂線，過點A作x軸的垂線交過P且平行于x軸的直線于點G．

設P（x₁，x₁-5），則G（1，x₁-5）
則PG=|1-x₁|，AG=|5-x₁-4|=|1-x₁|
PA=BD=3
由勾股定理得：
（1-x₁）²+（1-x₁）²=18，x₁²-2x₁-8=0，x₁=-2或4
∴P（-2，-7）或P（4，-1），
存在點P（-2，-7）或P（4，-1）使以點A、B、D、P為頂點的四邊形是平行四邊形．
點評：解答本題的關鍵是熟練掌握勾股定理及其逆定理，在復雜的圖形中找出基本的圖形.