Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點O在AB上，經過點A的⊙O與BC相切于點D，與AC，AB分別相交于點E，F，連接AD與EF相交于點G．

（1）求證：AD平分∠CAB；
（2）若OH⊥AD于點H，FH平分∠AFE，DG=1．
①試判斷DF與DH的數量關系，并說明理由；
②求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖，連接OD，

∵⊙O與BC相切于點D，

∴OD⊥BC，

∵∠C=90°，

∴OD∥AC，

∴∠CAD=∠ODA，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠CAD=∠BAD，

∴AD平分∠CAB

（2）

解：①DF=DH，理由如下：

∵FH平分∠AFE，

∴∠AFH=∠EFH，

又∠DFG=∠EAD=∠HAF，

∴∠DFG=∠EAD=∠HAF，

∴∠DFG+∠GFH=∠HAF+∠HFA，

即∠DFH=∠DHF，

∴DF=DH．

②設HG=x，則DH=DF=1+x，

∵OH⊥AD，

∴AD=2DH=2（1+x），

∵∠DFG=∠DAF，∠FDG=∠FDG，

∴△DFG∽△DAF，

∴ ，

∴ ，

∴x=1，

∵DF=2，AD=4，

∵AF為直徑，

∴∠ADF=90°，

∴AF= =

∴⊙O的半徑為

【解析】（1）連接OD．先證明OD∥AC，得到∠CAD=∠ODA，再根據OA=OD，得到∠OAD=∠ODA，進而得到∠CAD=∠BAD，即可解答．（2）①DF=DH，利用FH平分∠AFE，得到∠AFH=∠EFH，再證明∠DFH=∠DHF，即可得到DF=DH．②設HG=x，則DH=DF=1+x，證明△DFG∽△DAF，得到 ，即 ，求出x=1，再根據勾股定理求出AF，即可解答．本題考查了切線的性質，相似三角形的判定和性質，本題涉及的知識點：兩直線平行，等腰三角形的判定、三角形相似．
【考點精析】通過靈活運用角平分線的性質定理和垂徑定理，掌握定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上；垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧即可以解答此題．