Question

【題目】如圖，直線AB經過⊙O上的點C，直線AO與⊙O交于點E和點D，OB與⊙O交于點F，連接DF、DC．已知OA=OB，CA=CB，DE=10，DF=6．
（1）求證：①直線AB是⊙O的切線；②∠FDC=∠EDC；
（2）求CD的長．

Answer 1

【答案】
（1）

①證明：連接OC．

∵OA=OB，AC=CB，

∴OC⊥AB，

∵點C在⊙O上，

∴AB是⊙O切線．

②證明：∵OA=OB，AC=CB，

∴∠AOC=∠BOC，

∵OD=OF，

∴∠ODF=∠OFD，

∵∠AOB=∠ODF+∠OFD=∠AOC+∠BOC，

∴∠BOC=∠OFD，

∴OC∥DF，

∴∠CDF=∠OCD，

∵OD=OC，

∴∠ODC=∠OCD，

∴∠ADC=∠CDF

（2）

解：作ON⊥DF于N，延長DF交AB于M．

∵ON⊥DF，

∴DN=NF=3，

在RT△ODN中，∵∠OND=90°，OD=5，DN=3，

∴ON= =4，

∵∠OCM+∠CMN=180°，∠OCM=90°，

∴∠OCM=∠CMN=∠MNO=90°，

∴四邊形OCMN是矩形，

∴ON=CM=4，MN=OC=5，

在RT△CDM中，∵∠DMC=90°，CM=4，DM=DN+MN=8，

∴CD= = =4 ．

【解析】（1）①欲證明直線AB是⊙O的切線，只要證明OC⊥AB即可．②首先證明OC∥DF，再證明∠FDC=∠OCD，∠EDC=∠OCD即可；
（2）作ON⊥DF于N，延長DF交AB于M，在RT△CDM中，求出DM、CM即可解決問題．本題考查切線的判定，等腰三角形的性質、垂徑定理、平行線的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，屬于中考常考題型．