Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（﹣3，0）兩點．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）設（1）中的拋物線交y軸與C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最小？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點P，使△PBC的面積最大？若存在，求出點P的坐標及△PBC的面積最大值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為：y=-x2-2x+3；

（2）存在，Q（-1，2）；

（3）存在，點P坐標為（-，），S△BPC最大=；

【解析】試題分析：(1)、將點A和點B代入函數解析式，利用待定系數法求出函數解析式；(2)、根據題意得出A、B兩點關于對稱軸對稱，則直線BC與x=－1的交點就是點Q，根據題意得出點C的坐標，然后利用待定系數法求出直線BC的解析式，從而得出點Q的坐標；(3)、首先設點P的坐標，然后根據△BPC的面積等于四邊形BPCO的面積減去△BOC的面積，然后列出關于x的函數解析式，從而得出最大值.

試題解析：(1)、將A（1，0），B（﹣3，0）代y=﹣x2+bx+c中得

∴∴拋物線解析式為：y=﹣x2﹣2x+3；

(2)、存在

理由如下：由題知A、B兩點關于拋物線的對稱軸x=﹣1對稱

∴直線BC與x=﹣1的交點即為Q點，此時△AQC周長最小∵y=﹣x2﹣2x+3 ∴C的坐標為：（0，3）

直線BC解析式為：y="x+3" Q點坐標即為解得∴Q（﹣1，2）；

(3)、存在．

理由如下：設P點（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣3＜x＜0） ∵S△BPC=S四邊形BPCO﹣S△BOC=S四邊形BPCO﹣

若S四邊形BPCO有最大值，則S△BPC就最大，

∴S四邊形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC=BEPE+OE（PE+OC）=（x+3）（﹣x2﹣2x+3）+（﹣x）（﹣x2﹣2x+3+3）

=

當x=﹣時，S四邊形BPCO最大值=∴S△BPC最大=

當x=﹣時，﹣x2﹣2x+3=∴點P坐標為（﹣，）．