Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．

填空：________；

點在拋物線上，且，求面積的最大值；

設為線段上一點（不含端點），連接，一動點從點出發，沿線段以每秒一個單位速度運動到點，再沿線段以每秒個單位的速度運動到后停止，當點的坐標是多少時，點在整個運動中用時最少？

Answer 1

【答案】（1）-3（2）當時，面積的最大值為（3）

【解析】

（1）將點A的坐標代入得2+2m+4=0，然后，再求得m的值即可；
（2）先求得點B和點C的坐標，當0<a<4時，過點P作x軸的垂線交BC于D．設直線BC的解析式為y=kx+4，將點B的坐標代入可求得BC的解析式，設點P的坐標為（a，，則點D的坐標為（a，-a+4）．然后由S△PBC=S△PCD+S△PBD可得到△PBC的面積與a的函數關系式，從而可得到△PBC的面積的最大值，當4≤a≤6時，過點P作y軸的垂線交BC于E．則E，PE=，然后依據S△PBC=S△PCE+S△PBE可得到△PBC的面積與a的函數關系式，從而可得到△PBC的面積的最大值；
（3）作點A關于BC的對稱點A′，過點A′作A′F⊥y軸，垂足為F，交BC與點H，依據軸對稱的性質可得到A′（4，2）將y=2代入直線BC的解析式可得到點H的坐標．

（1）①當時，過點作軸的垂線交于．

令得：，解得或，

∴．

設直線的解析式為，將點的坐標代入得：，解得，

∴的解析式為．

設點的坐標為，則點的坐標為．

∴．

∴．

當時最大值為．

②當時，過點作軸的垂線交于．

∴，．

∴．

當時最大值為．

綜上可知，當時，面積的最大值為．作點關于的對稱點，過點作軸，垂足為，交與點．

∵的解析式為．

∴．

∵點與點關于對稱，

∴，，

∴．

在中，，即，

∴點在整個運動中所用的時間為．

∴當點、、在一條直線上時，所用時間最短．

將代入得：，解得：，

∴點的坐標為．