Question

【題目】如圖，已知直線y＝－2x＋12分別與y軸，x軸交于A，B兩點，點M在y軸上，以點M為圓心的⊙M與直線AB相切于點D，連接MD.

(1)求證：△ADM∽△AOB.

(2)如果⊙M的半徑為2，請寫出點M的坐標，并寫出以點為頂點，且過點M的拋物線的函數表達式．

(3)在(2)的條件下，試問在此拋物線上是否存在點P，使以P，A，M三點為頂點的三角形與△AOB相似？如果存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）y＝－2；（3）點P的坐標為(－5，2)，(－4，10)．

【解析】

（1）依題意得出MD⊥AB繼而推出∠MDA＝∠AOB，∠MAD＝∠BAO，然后可證明；

（2）設A（0，m），由直線y＝2x＋12可知，OA＝12，OB＝6，則AM＝12m，DM＝2，利用勾股定理得AB＝6，由△ADM∽△AOB，利用相似比求m的值即可，設拋物線頂點式，將M點坐標代入，可求拋物線解析式；

（3）存在，△AOB中，OA：OB＝12：6＝2：1，則所求直角三角形兩直角邊的比為2：1，根據△PAM中，頂點P，A，M分別為直角頂點，根據拋物線解析式分別求符合條件的點P的坐標

(1)∵AB是⊙M的切線，D是切點，

∴MD⊥AB，

∴∠MDA＝90°＝∠AOB.

又∵∠MAD＝∠BAO，

∴△ADM∽△AOB.

(2)設M(0，m)，由直線y＝－2x＋12得OA＝12，OB＝6，則AM＝12－m，而DM＝2，

在Rt△AOB中，AB＝.，

∵△ADM∽△AOB，

∴，

即，

解得m＝2，

∴M(0，2)．

設頂點坐標為的拋物線的函數表達式為y＝a2＋，將點M的坐標代入，得a2＋＝2，解得a＝－2，

∴拋物線的函數表達式為y＝－22＋；

(3)存在．①當頂點M為直角頂點時，M，P兩點關于拋物線的對稱軸直線x＝－對稱，此時MP＝5，AM＝12－2＝10，AMMP＝2：，符合題意，此時點P的坐標為(－5，2)；

②當頂點A為直角頂點時，點P的縱坐標為12，代入拋物線表達式，得－22＋＝12，解得x＝－，此時AP＝，AM＝10，不符合題意；

③當頂點P′為直角頂點時，則由相似三角形的性質可設P′的坐標為(n，－2n＋2)或(－2m，m＋2)．若P′(n，－2n＋2)，則－2n－n＝10，解得n＝－4；當x＝－4時，y＝－2×＋＝10，－2n＋2＝10，符合題意；

若P′(－2m，m＋2)，則4m+m＝10，解得m－2，當x＝－2m＝－4時，y＝－2×＋＝10，m＋2＝4，不符合題意．

綜上所述，符合條件的點P的坐標為(－5，2)，(－4，10)．