Question

【題目】如圖，一次函數y＝kx+b的圖象經過點A（0，4）和點B（3，0），以線段AB為邊在第一象限內作等腰直角△ABC，使∠BAC＝90°．

（1）求一次函數的解析式；

（2）求出點C的坐標；

（3）點P是y軸上一動點，當PB+PC最小時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+4；（2）（4，7）；（3）P（0，3）

【解析】

（1）根據待定系數法確定函數解析式即可；

（2）作CD⊥y軸于點D，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAD，由全等三角形的性質可知OA=CD，故可得出C點坐標；

（3）求得B點關于y軸的對稱點B′的坐標，連接B′C與y軸的交點即為所求的P點，由B′、C坐標可求得直線B′C的解析式，則可求得P點坐標．

解：（1）設AB直線的解析式為：y＝kx+b，

把（0，4）（3，0）代入可得：，

解得：，

∴一次函數的解析式為：y＝﹣x+4；

（2）如圖，作CD⊥y軸于點D．

∵∠BAC＝90°，

∴∠OAB+∠CAD＝90°，

又∵∠CAD+∠ACD＝90°，

∴∠ACD＝∠BAO．

在△ABO與△CAD中，

∵，

∴△ABO≌△CAD（AAS），

∴OB＝AD＝3，OA＝CD＝4，OD＝OA+AD＝7．

∴C的坐標是（4，7）．

（3）如圖，作點B關于y軸的對稱點B′，連接CB′交y軸于P，此時PB+PC的值最小．

∵B（3，0），C（4，7）

∴B′（﹣3，0），

設直線CB′的解析式為y＝mx+n，

把（﹣3，0）（4，7）代入y＝mx+n中，

可得：，

解得：，

∴直線CB′的解析式為y＝x+3，

令x＝0，得到y＝3，

∴P（0，3）．