Question

如圖，拋物線y=ax²+bx（a＞0）與雙曲線y=

k

x

相交于點A，B．已知點B的坐標為（-2，-2），點A在第一象限內，且tan∠AOx=4．過點A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點C．
（1）求雙曲線和拋物線的解析式；
（2）計算△ABC的面積；
（3）在拋物線上是否存在點D，使△ABD的面積等于△ABC的面積？若存在，請你寫出點D的坐標；若不存在，請你說明理由．

Answer 1

（1）把點B（-2，-2）的坐標，代入y=

k

x

，
得：-2=

k

-2

，
∴k=4．
即雙曲線的解析式為：y=

4

x

．
設A點的坐標為（m，n）．
∵A點在雙曲線上，
∴mn=4．①
又∵tan∠AOx=4，
∴

n

m

=4，即n=4m．②
由①②，得：m²=1，
∴m=±1．
∵A點在第一象限，
∴m=1，n=4，
∴A點的坐標為（1，4）
把A、B點的坐標代入y=ax²+bx，得：

4=a+b -2=4a-2b

，
解得a=1，b=3．
∴拋物線的解析式為：y=x²+3x；

（2）∵AC∥x軸，
∴點C的縱坐標y=4，
代入y=x²+3x，得方程x²+3x-4=0，
解得x₁=-4，x₂=1（舍去）．
∴C點的坐標為（-4，4），且AC=5，
又∵△ABC的高為6，
∴△ABC的面積=

1

2

×5×6=15；

（3）存在D點使△ABD的面積等于△ABC的面積．
過點C作CD∥AB交拋物線于另一點D．
∵△ABD與△ABC同底等高，
∴△ABD的面積等于△ABC的面積，
因為直線AB相應的一次函數是：y=2x+2，且C點的坐標為（-4，4），CD∥AB，
所以直線CD相應的一次函數是：y=2x+12．
解方程組

y=x2+3x y=2x+12

，
∴x²+3x=2x+12，
即x=3或x=-4，
當x=3時，y=18，
當x=-4時，y=4，
∴

x=3 y=18

或

x=-4 y=4

（不合題意，舍去），
所以點D的坐標是（3，18）．