Question

【題目】如圖，一次函數y=k1x﹣1的圖象經過A（0，﹣1）、B（1，0）兩點，與反比例函數y= 的圖象在第一象限內的交點為M，若△OBM的面積為1．

（1）求一次函數和反比例函數的表達式；
（2）在x軸上是否存在點P，使AM⊥PM？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；
（3）x軸上是否存在點Q，使△QBM∽△OAM？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，過點M作MN⊥x軸于點N，

∵一次函數y=k1x﹣1的圖象經過A（0，﹣1）、B（1，0）兩點，

∴0=k1﹣1，AO=BO=1，

解得：k1=1，

故一次函數解析式為：y=x﹣1，

∵△OBM的面積為1，BO=1，

∴M點縱坐標為：2，

∵∠OAB=∠MNB，∠OBA=∠NBM，

∴△AOB∽△MNB，

∴ = = ，

則BN=2，

故M（3，2），

則xy=k2=6，

故反比例函數解析式為：y=

（2）

解：如圖2，過點M作PM⊥AM，垂足為M，

∵∠AOB=∠PMB，∠OBA=∠MBP，

∴△AOB∽△PMB，

∴ = ，

由（1）得：AB= = ，BM= =2 ，

故 = ，

解得：BP=4，

故P（5，0）

（3）

解：如圖3，∵△QBM∽△OAM，

∴ = ，

由（2）可得AM=3 ，

故 = ，

解得：QB= ，

則OQ= ，

故Q點坐標為：（ ，0）．

【解析】（1）利用已知點B坐標代入一次函數解析式得出答案，再利用△OBM的面積得出M點縱坐標，再利用相似三角形的判定與性質得出M點坐標即可得出反比例函數解析式；（2）過點M作PM⊥AM，垂足為M，得出△AOB∽△PMB，進而得出BP的長即可得出答案；（3）利用△QBM∽△OAM，得出 = ，進而得出OQ的長，即可得出答案．
【考點精析】通過靈活運用反比例函數的性質和相似三角形的性質，掌握性質:當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減小； 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大；對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形即可以解答此題．