Question

如圖22，將—矩形OABC放在直角坐際系中，O為坐標原點．點A在x軸正半軸上．點E是邊AB上的—個動點(不與點A、N重合)，過點E的反比例函數的圖象與邊BC交于點F。

1.若△OAE、△OCF的而積分別為S₁、S₂．且S₁＋S₂=2，求的值：

2.若OA=2．0C=4．問當點E運動到什么位置時，四邊形OAEF的面積最大．其最大值為多少?

 

Answer 1

【答案】

 

1.∵點E、F在函數的圖象上，

∴設E（， ），F（，），＞0，＞0，

∴S₁=，S₂=。∵S₁＋S₂=2，∴ 。∴。…………4分

2.∵四邊形OABC為矩形，OA=2，OC=4，∴設 E(，2)， F(4，)。∴BE=4－，BF=2－。

∴S_△BEF= ，S△_OCF= ，S_矩形OABC=2×4=8，

∴S_{四邊形OAEF}=S_矩形OABC－S_△BEF－S_△OCF= 8－()－=。

∴當=4時，S_{四邊形OAEF}=5。∴AE=2。

∴當點E運動到AB的中點時，四邊形OAEF的面積最大，最大值是5。…………………10分

【解析】（1）設E（x₁，），F（x₂，），x₁＞0，x₂＞0，根據三角形的面積公式得到S₁=S₂= k，利用S₁+S₂=2即可求出k；

（2）設E(，2)，F(4，)，利用S_{四邊形OAEF}=S_矩形OABC-S_△BEF-S_△OCF=- (k-4)²+5，根據二次函數的最值問題即可得到當k=4時，四邊形OAEF的面積有最大值，S_{四邊形OAEF}=5，此時AE=2．