Question

【題目】如圖，D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA=∠CBD．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）過點B作⊙O的切線交CD的延長線于點E，CD=2．

①若∠C=30°，求圖中陰影部分的面積；

②若，求BE的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）①4- ；②。

【解析】試題分析：（1）首先連接OD，由AB是直徑，可得∠ADB=90°，然后由∠CDA=∠CBD，求得∠CDO=90°，即可證得結論；

（2）①由∠CBD=30°，可得△ADO是邊長為1的等邊三角形，繼而求得CD的長，然后由S陰影=S四邊形OBED﹣S扇形OBD求得答案；②由∠C=∠C，∠CDA=∠CBD，可證得△CDA∽△CBD，可得比例式=，從而CB=3.在直角△CBE中，由勾股定理得到BE的長．

試題解析：（1）連OD．

∵AB是直徑，

∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠2=90°．

又∵∠CDA=∠CBD，∠2=∠CBD，

∴∠2=∠CDA，

∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°，

∴CD是⊙O的切線．

（2）①∵BE是⊙O的切線，

∴BE⊥BC．

∵∠C=30°，

∴∠E=60°．

∵DE是⊙O的切線，ED=EB，

∴△EBD是等邊三角形，

∴∠EBD=60°，

∴∠DBC=30°，

∴DB=CD=2，EB=ED=BD=2．

在Rt△COD中，∵∠C=30°，CD=2，

∴OD=2．

∴S四邊形OBED=2S△BEO=2××2×3=4．

S扇形OBD==，

則S陰影=S四邊形OBED﹣S扇形OBD=4﹣；

②∵∠C=∠C，∠CDA=∠CBD，

∴△CDA∽△CBD

∴=，即=，

∴CB=3．

設BE=ED=x，在直角△CBE中，由勾股定理得到：x2+（3）2=（2+x）2，

解得x=，所以BE的長為．