Question

如圖1，以點O為圓心，半徑為4的圓交x軸于A，B兩點，交y軸于C，D兩點，點P為弧AC上的一動點，延長CP交x軸于點E；連接PB，交OC于點F．
（1）若點F為OC的中點，求PB的長；

（2）求CP•CE的值；
（3）如圖2，過點OH∥AP交PD于點H，當點P在弧AC上運動時，試問

AP

DH

的值是否保持不變；若不變，試證明，求出它的值；若發生變化，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求PB的長，連接AP，可以通過證明△ABP∽△BOF，根據相似三角形的性質得出；
（2）求CP•CE的值，連接BC，CA，易證明AC=BC，得出∠CPB=∠EBC，再證明△BCP∽△ECB，得出比例的乘積形式即可；（3）

AP

DH

的值可以通過比例的形式，證明△CAP∽△ODH得出．

解答：（本題滿分8分）
解：（1）連接AP，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠APB=∠FOB=90°．
∵∠ABP=∠FBO，
∴△ABP∽△BOF．
∴

BP

OB

=

AB

BF

．（1分）
∵BF=

OF2+OB2

=2

5

，
∴

BP

4

=

8

2 5

．
∴BP=

16 5

5

．（2分）

（2）連接BC，
∵OC⊥AB，BC=

OC2+OB2

=4

2

，
∴

AC

=

BC

，
∴∠CPB=∠EBC．（3分）
∵∠BCP=∠BCE，
∴△BCP∽△ECB．
∴

BC

CP

=

CE

BC

．（4分）
∴BC²=CP•CE=32．（5分）

（3）

AP

DH

的值保持不變．（6分）
連接PC，AC，
∵OH∥AP，
∴∠APD=∠OHP=

1

2

∠AOD=45°．
∴∠CPA=∠OHD=135°．
又∵∠CAP=∠ODH，
∴△CAP∽△ODH．（7分）
∴

AP

DH

=

AC

OD

=

4 2

4

=

2

．
當點P在弧AC上運動時，

AP

DH

的值保持不變，

AP

DH

的值為

2

．（8分）

點評：本題考查了相似三角形的性質，同時考查了平行線的性質，圓周角的性質，綜合性較強．