Question

【題目】若關于 x 的一元二次方程axbxc=0（a0，c0，a、b、c為常數）有兩個不相等的實數根，（0），O為坐標原點，A、B為x軸正半軸上的兩點且A，0，B，0.

（1）當=c=2,b=-時，求與a的值;

（2）當 x 1，c 6a 時，P為一次函數 y x4圖象上一點，Q為平面直角坐標系中的一點，若點 A、B、P、Q 為一個矩形的四個頂點，請確定點Q的坐標；

（3）當=2c時，試問在正比例函數y=的圖象上是否存在點M使得△ABM為等邊三角形？判斷并證明你的結論。

Answer 1

【答案】（1）=3，a=；（2）點Q的坐標為：（6，3）或（1，-2）；（3）不存在點M使得△ABM為等邊三角形，證明見解析.

【解析】

（1）把=c=2，b=代入可求出a的值，從而得到該方程，利用根與系數的關系可求出另一根；

（2）把x1，c6a代入可求出b=-7a，從而將方程變形為a(x-1)(x-6)=0，得到A，B坐標，然后根據一次函數圖像上點的坐標特征和矩形的性質可分情況求出點Q的坐標；

（3）將=2c代入axbx c=0利用根與系數的關系求出，得到A，B坐標，過點M作MC⊥x軸于點C，由C是AB中點，可求出C的坐標，進而代入正比例函數解析式得到M點坐標，然后根據CM=AC列出方程求出b值，推出矛盾，問題得解.

解：（1）把=c=2，b=代入ax bx c=0得：4a+2×()+2=0，

解得：a=，

所以該方程為：xx 2=0，

∵=，即2+=5，

∴=3；

（2）把x1，c6a代入axbx c=0得ab6a=0，

∴b=-7a；

∴ax-7ax 6a=0，即a(xx 6)=0，

∴a(x-1)(x-6)=0（a0），

∴，，

∴A(1，0)，B(6，0)，

①如圖1，過點A作AP⊥x軸交直線yx4于點P，

∴P（1，3），

∵四邊形APQB為矩形，

∴Q（6，3）；

②如圖2，過點B作BP⊥x軸交直線yx4于點P，

∴P（6，-2），

∵四邊形ABPQ為矩形，

∴Q（1，-2）；

綜上所述，點Q的坐標為：（6，3）或（1，-2）；

（3）不存在點M使得△ABM為等邊三角形；

證明：將=2c代入axbx c=0得：4ac2+2bc+c=0，即c(4ac+2b+1)=0，

∵c0，

∴4ac+2b+1=0①，

∵，

∴，

∴A(2c，0)，B(，0)，

假設存在點M使得△ABM為等邊三角形，

如圖3，過點M作MC⊥x軸于點C，則C是AB中點，

∴C點橫坐標為：，

將代入可得，

由①可知4ac=-(2b+1)，4ac+1=-2b，

∴，

∴M（，），

當△ABM為等邊三角形時，CM=AC，

AC，

∴

∴，

解得：b=-1（舍）或b=，

∵b=，，

∴a＜0，與題設中a0矛盾，

∴不存在點M使得△ABM為等邊三角形.