Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，D是BC上一個動點，連接AD，以AD為邊向右側作等腰直角△ADE，其中∠ADE=90°．

（1）如圖2，G，H分別是邊AB，BC的中點，連接DG，AH，EH．求證：△AGD∽△AHE；

（2）如圖3，連接BE，直接寫出當BD為何值時，△ABE是等腰三角形；

（3）在點D從點B向點C運動過程中，求△ABE周長的最小值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當BD=0或或時，△ABE是等腰三角形.；（3）△ABE周長最小值為．

【解析】（1）根據等腰直角三角形的性質和相似三角形的判定解答即可；

（2）分三種情況：

①當B與D重合時，即BD=0，如圖3，此時AB=BE；

③當AB=AE時，如圖4，此時E與C重合，可得BD的長；

③當AB=BE時，如圖5，作輔助線，構建等腰直角三角形和全等三角形，證明△ADM≌△DEG，和△EMG是等腰直角三角形，則ME=MG，根據（1）得：△AHD∽△AME，且，可計算BD的長；

（3）先確定△ABE周長的最小值時，E的位置：作點B關于直線MC的對稱點N，連接AN交MC于點E′，此時△ABE′就是所求周長最小的△ABE；證明四邊形ABMC是正方形，根據△ABD∽△AME，得∠AME=∠ABD=45°，知點E在射線MC上，利用勾股定理求AN的長，根據周長定義可得結論．

（1）證明：如圖2，由題意知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∴∠B=∠DAE=45°．

∵H為BC中點，

∴AH⊥BC．

∴∠BAH=45°=∠DAE．

∴∠GAD=∠HAE．

在等腰直角△BAH和等腰直角△DAE中，

AH＝AB＝AG，AE＝AD．

∴，

∴△AGD∽△AHE；

（2）解：分三種情況：

①當B與D重合時，即BD=0，如圖3，此時AB=BE；

③當AB=AE時，如圖4，此時E與C重合，

∴D是BC的中點，

∴BD=BC=2；

③當AB=BE時，如圖5，過E作EH⊥AB于H，交BC于M，連接AM，過E作EG⊥BC于G，連接DH，

∵AE=BE，EH⊥AB，

∴AH=BH，

∴AM=BM，

∵∠ABC=45°，

∴AM⊥BC，△BMH是等腰直角三角形，

∵AD=DE，∠ADE=90°，

易得△ADM≌△DEG，

∴DM=EG，

∵∠EMG=∠BMH=45°，

∴△EMG是等腰直角三角形，

∴ME=MG，

由（1）得：△AHD∽△AME，且，

∴∠AHD=∠AME=135°，ME=DH，

∴∠BHD=45°，MG=DH，

∴△BDH是等腰直角三角形，

∴BD=DH=EG=DM=；

綜上所述，當BD=0或或2時，△ABE是等腰三角形；

（3）解：當點D與點B重合時，點E的位置記為點M，連接CM，如圖6，

此時，∠ABM=∠BAC=90°，∠AMB=∠BAM=45°，BM=AB=AC．

∴四邊形ABMC是正方形．

∴∠BMC=90°，

∴∠AMC=∠BMC-∠AMB=45°，

∵∠BAM=∠DAE=45°，

∴∠BAD=∠MAE，

在等腰直角△BAM和等腰直角△DAE中，

AM＝AB，AE＝AD．

∴．

∴△ABD∽△AME．

∴∠AME=∠ABD=45°

∴點E在射線MC上，

作點B關于直線MC的對稱點N，連接AN交MC于點E′，

∵BE+AE=NE+AE≥AN=NE′+AE′=BE′+AE′，

∴△ABE′就是所求周長最小的△ABE．

在Rt△ABN中，

∵AB=4，BN=2BM=2AB=8，

∴AN＝．

∴△ABE周長最小值為AB+AN＝4+4．