Question

已知拋物線經過點A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），以AB為直徑畫圓．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）求該圓與拋物線交點（除A、B外）坐標；
（3）以AB的中點O′為圓心畫圓，該圓的半徑r與此拋物線的交點個數有何關系（直接寫出結論）

Answer 1

分析：（1）可根據A、B的坐標用交點式的二次函數通式來設這個二次函數，然后根據C的坐標來確定其解析式．
（2）可求E、F兩點中任何一個的坐標，以E點為例，過E作ED⊥AB于D，連接BE，先設出E點的坐標，如E點的坐標為（m，n），可用m、n表示出AD、DE、BD的長，根據射影定理可得出DE²=AD•DE，即可得出關于m、n的等量關系式，然后可依據E是拋物線上的點，將E的坐標代入拋物線的解析式中，可得出另外一個關于m、n的關系式，讓這兩個式子聯立，即可求出m，n的值，也就得出E點的坐標．
（3）可先求出圓O′與拋物線相切時的圓的半徑是多少．可設相切時，切點E的坐標為（m，n），可根據O′、E兩點的坐標，求出O′E的長度，也就得出了半徑的長，設半徑為r，那么就得出了關于r、m、n的等量關系式．又有E是拋物線上的點，可將E的坐標代入拋物線的解析式中，得出關于m，n的等量關系式，然后聯立兩式即可得出關于、r的方程．已知了此時圓與拋物線相切，因此有兩個切點．可根據根與系數的關系得出此時r的值．然后根據這個半徑的值即可得出半徑在不同的取值范圍中，圓與拋物線的不同的位置關系，也就可得出了交點的個數．

解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c
∵此拋物線經過點A（1，0）、B（3，0）、C（0，2）
∴a+b+c=0，9a+3b+c=0，c=3
∴a=1，b=-4，c=3
∴拋物線的解析式為y=x²-4x+3

（2）過E作ED⊥AB于D，連接BE
設交點E（m，n）則AD=m-1，BD=3-m，DE=-n
∵AB為圓的直徑
∴∠AEB=90°
∴∠EAB+∠ABE=90°
∵ED⊥AB
∴∠ADE=∠EDB=90°
∴∠DEB+∠ABE=90°
∴∠DEB=∠EAB
∴△ADE∽△EDB
∴

AD

DE

=

DE

DB

∴

m-1

-n

=

-n

3-m

∴m²-4m+3=-n²
又∵E（m，n）在拋物線y=x²-4x+3
∴n=m²-4m+3
∴n=-n²
∴n=-1或n=0（不合題意舍去）
∴m=2
∴該圓與拋物線交點坐標為（2，1）

（3）設當拋物線與圓相切時E（m，n），則O′E²=（2-m）²+（-n）²
∴r²=（2-m）²+（-n）²
又∵E（m，n）在拋物線y=x²-4x+3
∴n=m²-4m+3=（m-2）²-1
∴r²=（2-m）²+（（m-2）²-1）²
∴（m-2）⁴-（m-2）²+1-r²=0
∵當拋物線與圓相切時只有兩個交點
∴m只有兩個正數解
∵方程（m-2）⁴-（m-2）²+1-r²=0中m-2的兩個解均為正數
∴此方程的b²-4ac=0
∴r=

3

2

∵當r=1時有三個交點
∴當0＜r＜

3

2

時無交點；
當r=

3

2

或r＞1時有兩個交點；
當r=1時有三個交點；
當

3

2

＜r＜1時有四個交點．

點評：本題結合圓的知識考查了二次函數的綜合應用，運用數形結合的方法進行解答是本題的基本思路．