Question

【題目】綜合與實踐

問題情境：在數學活動課上，我們給出如下定義：順次連按任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫中點四邊形．如圖（1），在四邊形ABCD中，點E，F，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點．試說明中點四邊形EFGH是平行四邊形．

探究展示：勤奮小組的解題思路：

反思交流：

（1）①上述解題思路中的“依據1”、“依據2”分別是什么？

依據1：　 　；依據2：　 　；

②連接AC，若AC＝BD時，則中點四邊形EFGH的形狀為　 　；

創新小組受到勤奮小組的啟發，繼續探究：

（2）如圖（2），點P是四邊形ABCD內一點，且滿足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，點E，F，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點，猜想中點四邊形EFGH的形狀，并說明理由；

（3）若改變（2）中的條件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其它條件不變，則中點四邊形EFGH的形狀為　 　．

Answer 1

【答案】（1）①依據1：三角形的中位線定理．依據2：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．②菱形．理由見解析；（2）四邊形EFGH是菱形．理由見解析；（3）正方形．理由見解析.

【解析】

（1）根據三角形中位線定理解答即可；

（2）根據平行四邊形的判定和菱形的判定解答即可．

（3）根據有一個角是直角的菱形是正方形即可證明．

（1）①依據1：三角形的中位線定理．

依據2：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．

②菱形．

理由：如圖1中，

∵AE＝BE，AH＝HD，

∴EH＝BD，

∵DH＝HA，DG＝GC，

∴HG＝AC，

∴HE＝HG，

∵四邊形EFGH是平行四邊形，

∴四邊形EFGH是菱形．

故答案為三角形中位線定理，一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，菱形．

（2）結論：四邊形EFGH是菱形．

理由：如圖2中，連接AC，BD

∵∠APB＝∠CPD

∴∠APB+∠APD＝∠CPD+∠APD

即：∠BPD＝∠APC

∵PA＝PB，PC＝PD

∴△APC≌△BPD

∴AC＝BD

∴HG＝HE

由(1)可知：四邊形EFGH是平行四邊形

∴四邊形EFGH是菱形．

（3）結論：正方形．

理由：如圖2﹣1中，連接AC，BD，BD交AC于點O，交GH于點K，AC交PD于點J．

∵△APC≌△BPD，∠DPC＝90°，

∴∠PDB＝∠PCA，

∵∠PJC＝∠DJO，

∴∠CPJ＝∠DOJ＝90°，

∵HG∥AC，

∴∠BKG＝∠BOC＝90°，

∵EH∥BD，

∴∠EHG＝∠BKG＝90°，

∵四邊形EFGH是菱形，

∴四邊形EFGH是正方形．