Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC的中點于D，DE⊥AC于E，連接AD，則下列結論：
①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA= AC；④DE是⊙O的切線，正確的個數是（ ）

A.1 個
B.2個
C.3 個
D.4個

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°=∠ADC，
即AD⊥BC，①正確；
連接OD，
∵D為BC中點，
∴BD=DC，
∵OA=OB，
∴DO∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是半徑，
∴DE是⊙O的切線，∴④正確；
∴∠ODA+∠EDA=90°，
∵∠ADB=∠ADO+∠ODB=90°，
∴∠EDA=∠ODB，
∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB，
∴∠EDA=∠B，∴②正確；
∵D為BC中點，AD⊥BC，
∴AC=AB，
∵OA=OB= AB，
∴OA= AC，∴③正確．
故答案為：D．
根據直徑所對的圓周角是直角可得AD⊥BC；連接OD，根據三角形的中位線定理可得DO∥AC，結合已知條件DE⊥AC可得OD⊥DE，則DE是⊙O的切線；根據DE是⊙O的切線可得∠ODA+∠EDA=90°，而∠ADB=∠ADO+∠ODB=90°可得∠EDA=∠ODB，易得∠EDA=∠B；根據等腰三角形三線合一可得AC=AB，易得OA= AC。所以選項D符合題意。