Question

（2012•巴中）如圖，在平面直角坐標系中，點A、C分別在x軸、y軸上，四邊形ABCO為矩形，AB=16，點D與點A關于y軸對稱，tan∠ACB=

4

3

．點E、F分別是線段AD、AC上的動點（點E不與A、D點重合），且∠CEF=∠ACB．
（1）求AC的長與點D的坐標．
（2）說明△AEF與△DCE相似．
（3）當△EFC為等腰三角形時，求點E的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用矩形的性質，在Rt△ABC中，利用三角函數求出AC、BC的長度，從而得到A點坐標；由點D與點A關于y軸對稱，進而得到D點的坐標；
（2）欲證△AEF與△DCE相似，只需要證明兩個對應角相等即可．如圖①，在△AEF與△DCE中，易知∠CDE=∠CAO，∠AEF=∠DCE，從而問題解決；
（3）當△EFC為等腰三角形時，有三種情況，需要分類討論：
①當CE=EF時，此時△AEF與△DCE相似比為1，則有AE=CD；
②當EF=FC時，此時△AEF與△DCE相似比為

6

5

，則有AE=

5

6

CD；
③當CE=CF時，F點與A點重合，這與已知條件矛盾，故此種情況不存在．

解答：解：（1）由題意tan∠ACB=

4

3

，∴cos∠ACB=

3

5

．
∵四邊形ABCO為矩形，AB=16，
∴BC=

AB

tan∠ACB

=12，AC=

BC

cos∠ACB

=20，
∴A點坐標為（-12，0），
∵點D與點A關于y軸對稱，
∴D（12，0）．

（2）點D與點A關于y軸對稱，∴∠CDE=∠CAO，
∵∠CEF=∠ACB，∠ACB=∠CAO，
∴∠CDE=∠CEF，
又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE（三角形外角性質）
∴∠AEF=∠DCE．
則在△AEF與△DCE中，∠CDE=∠CAO，∠AEF=∠DCE，
∴△AEF∽△DCE．

（3）當△EFC為等腰三角形時，有以下三種情況：
①當CE=EF時，
∵△AEF∽△DCE，
∴△AEF≌△DCE
∴AE=CD=20，
∴OE=AE-OA=20-12=8，
∴E（8，0）；
②當EF=FC時，如圖②所示，過點F作FM⊥CE于M，則點M為CE中點，
∴CE=2ME=2EF•cos∠CEF=2EF•cos∠ACB=

6

5

EF．
∵△AEF∽△DCE，
∴

EF

CE

=

AE

CD

，即

EF

6 5 EF

=

AE

20

，解得AE=

50

3

，
∴OE=AE-OA=

50

3

-12=

14

3

，
∴E（

14

3

，0）；
③當CE=CF時，則有∠CFE=∠CEF，
∵∠CEF=∠ACB=∠CAO，
∴∠CFE=∠CAO，即此時E點與D點重合，這與已知條件矛盾．
綜上所述，當△EFC為等腰三角形時，點E的坐標為（8，0）或（

14

3

，0）．

點評：本題綜合考查了矩形、等腰三角形、直角三角形等平面幾何圖形在坐標平面內的性質與變換，相似三角形的判定與性質應用是其核心．難點在于第（3）問，當△EFC為等腰三角形時，有三種情況，需要分類討論，注意不要漏解．