Question

【題目】如圖，已知直線與軸，軸分別交于，兩點，以為直角頂點在第二象限作等腰．

（1）求點的坐標，并求出直線的關系式；

（2）如圖，直線交軸于，在直線上取一點，連接，若，求證：．

（3）如圖，在（1）的條件下，直線交軸于點，是線段上一點，在軸上是否存在一點，使面積等于面積的一半？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x+4；（2）見解析；（3）存在，點N（﹣，0）或（，0）．

【解析】

（1）根據題意證明△CHB≌△BOA（AAS），即可求解；

（2）求出B、E、D的坐標分別為（-1，0）、（0，）、（1，-1），即可求解；

（3）求出BC表達式，將點P代入，求出a值，再根據AC表達式求出M點坐標，由S△BMC=MB×yC=×10×2=10，S△BPN＝S△BCM=5＝ NB×a=可求解．

解：（1）令x＝0，則y＝4，令y＝0，則x＝﹣2，

則點A、B的坐標分別為：（0，4）、（﹣2，0），

過點C作CH⊥x軸于點H，

∵∠HCB+∠CBH＝90°，∠CBH+∠ABO＝90°，

∴∠ABO＝∠BCH，

∠CHB＝∠BOA＝90°，BC＝BA，

在△CHB和△BOA中，

，

∴△CHB≌△BOA（AAS），

∴BH＝OA＝4，CH＝OB=2，

∴ 點C（﹣6，2），

將點A、C的坐標代入一次函數表達式：y= m x+ b得：，

解得：，

故直線AC的表達式為：y＝x+4；

（2）同理可得直線CD的表達式為：y＝﹣x﹣1①，則點E（0，﹣1），

直線AD的表達式為：y＝﹣3x+4②，

聯立①②并解得：x＝2，即點D（2，﹣2），

點B、E、D的坐標分別為（﹣2，0）、（0，﹣1）、（2，﹣2），

故點E是BD的中點，即BE＝DE；

（3）將點BC的坐標代入一次函數表達式并解得：

直線BC的表達式為：y＝﹣x-1，

將點P（﹣，a）代入直線BC的表達式得：，

直線AC的表達式為：y＝x+4，

令y=0，則x=-12，則點M（﹣12，0），

S△BMC＝MB×y C＝×10×2=10，

S△BPN＝S△BCM=5＝NB×a=，

解得：NB＝，

故點N（﹣，0）或（，0）．