Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，點A在第四象限，點B在x軸正半軸上，在△OAB中，∠OAB＝90°，AB＝AO＝6，點P為線段OA上一動點（點P不與點A和點O重合），過點P作OA的垂線交x軸于點C，以點C為正方形的一個頂點作正方形CDEF，使得點D在線段CB上，點E在線段AB上．

（1）①求直線AB的函數表達式．

②直接寫出直線AO的函數表達式　 　；

（2）連接PF，在Rt△CPF中，∠CFP＝90°時，請直接寫出點P的坐標為　 　；

（3）在（2）的前提下，直線DP交y軸于點H，交CF于點K，在直線OA上存在點Q．使得△OHQ的面積與△PKE的面積相等，請直接寫出點Q的坐標　 　．

Answer 1

【答案】（1）①y＝x﹣12；②y＝﹣x；（2）(3，﹣3)；（3）(2，﹣2)或(﹣2，2)

【解析】

（1）①利用等腰直角三角形的性質可以得到點A和點B的坐標，從而根據待定系數法求得直線AB的函數表達式；

②根據點A和點O的坐標可以求得直線AO的表達式；

（2）根據題意畫出圖形，首先得出點P、F、E三點共線，然后根據正方形的性質得出PE是△OAB的中位線，即點P為OA的中點，則點P的坐標可求；

（3）根據題意畫出圖形，然后求出直線PD 的解析式，得到點H的坐標，根據（2）中的條件和題意，可以求得△PKE的面積，再根據△OHQ的面積與△PKE的面積相等，可以得到點Q橫坐標的絕對值，由點Q在直線AO上即可求得點Q的坐標．

解：（1）①∵在△OAB中，∠OAB＝90°，AB＝AO＝ ，

∴△AOB是等腰直角三角形，OB＝，

∴∠AOB＝∠ABO＝45°，

∴點A的坐標為（6，﹣6），點B的坐標為（12，0），

設直線AB的函數表達式為y＝kx+b，

，得 ，

即直線AB的函數表達式是y＝x﹣12；

②設直線AO的函數表達式為y＝ax，

6a＝﹣6，得a＝﹣1，

即直線AO的函數表達式為y＝﹣x，

（2）點P的坐標為（3，﹣3），

理由：如圖：

∵在Rt△CPF中，∠CFP＝90°，∠CFE＝90°，

∴點P、F、E三點共線，

∴PE∥OB，

∵四邊形CDEF是正方形，∠OPC＝90°，∠COA＝45°，

∴CF＝PF＝AF＝EF，

∴PE是△OAB的中位線，

∴點P為OA的中點，

∴點P的坐標為（3，﹣3），

故答案為：（3，﹣3）；

（3）如圖，

在△PFK和△DCK中，

∴△PFK≌△DCK（AAS），

∴CK＝FK，

則由（2）可知，PE＝6，FK＝1.5，BD=3

∴點D（9，0）

∴△PKE的面積是＝4.5，

∵△OHQ的面積與△PKE的面積相等，

∴△OHQ的面積是4.5，

設直線PD的函數解析式為y＝mx+n

∵點P（3，﹣3），點D（9，0）在直線PD上，

∴，得，

∴直線PD的函數解析式為y＝，

當x＝0時，y＝-，

即點H的坐標為 ，

∴OH＝

設點Q的橫坐標為q，

則，

解得，q＝±2，

∵點Q在直線OA上，直線OA的表達式為y＝﹣x，

∴當x＝2時，y＝﹣2，當x＝﹣2時，x＝2，

即點Q的坐標為（2，﹣2）或（﹣2，2），