Question

已知拋物線y₁=x²+4x+1的圖象向上平移m個單位（m＞0）得到的新拋物線過點（1，8）．
（1）求m的值，并將平移后的拋物線解析式寫成y₂=a（x-h）²+k的形式；
（2）將平移后的拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，與平移后的拋物線沒有變化的部分構成一個新的圖象．請寫出這個圖象對應的函數(shù)y的解析式，并在所給的平面直角坐標系中直接畫出簡圖，同時寫出該函數(shù)在-3＜x≤-

3

2

時對應的函數(shù)值y的取值范圍；
（3）設一次函數(shù)y₃=nx+3（n≠0），問是否存在正整數(shù)n使得（2）中函數(shù)的函數(shù)值y=y₃時，對應的x的值為-1＜x＜0？若存在，求出n的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線y₁=x²+4x+1的圖象向上平移m個單位，可得y₂=x²+4x+1+m，再利用又點（1，8）在圖象上，求出m即可；
（2）根據(jù)函數(shù)解析式畫出圖象，即可得出函數(shù)大小分界點；
（3）根據(jù)當y=y₃且對應的-1＜x＜0時，x²+4x+3=nx+3，得出n取值范圍即可得出答案．

解答：解：（1）由題意可得y₂=x²+4x+1+m，
又點（1，8）在圖象上，
∴8=1+4×1+1+m，
∴m=2，
∴y₂=（x+2）²-1；

（2）y=

x2+4x+3     (x≤-3或x≥-1)(4分) -x2-4x-3(-3＜x＜-1)(6分)

當-3＜x≤-

3

2

時，0＜y≤1；

（3）不存在，
理由：當y=y₃且對應的-1＜x＜0時，x²+4x+3=nx+3，
∴x₁=0，x₂=n-4，
且-1＜n-4＜0得3＜n＜4，
∴不存在正整數(shù)n滿足條件．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及圖象交點求法，二次函數(shù)的綜合應用是初中階段的重點題型，特別注意利用數(shù)形結合是這部分考查的重點，也是難點，同學們應重點掌握．