Question

【題目】如圖，在中，，，動點從點出發沿運動，動點從點出發沿運動，如果、兩點同時出發，的速度為1個單位/秒．在上的速度為1個單位/秒，在上的速度為個單位/秒．設出發時間為，記的面積的函數圖象為．

（1）當時，的長是_________；

（2）若直線與有兩個交點，則的取值范圍為_________．

Answer 1

【答案】 且

【解析】

（1）當時，可得BP、BQ的長，利用勾股定理計算即可；

（2）分0≤x≤4和4＜x≤8兩種情況，利用三角形的面積公式找出y1關于x函數關系式，依此畫出圖象T，再逐一分析直線y2＝x＋b與T相切或過（0，0）、（8，4）時b的值，結合圖形即可得出結論．

解：（1）當x＝1時，AP＝BQ＝1，

∵AB＝BC＝4，

∴BP＝AB-AP＝3，

∵∠B＝90°，

∴在Rt△BPQ中，PQ＝，

∴PQ的長為；

（2）當0≤x≤4時，y1＝PBBQ＝（4－x）x＝－x2＋2x；

當4＜x≤8時，過點Q作QD⊥BC與點D，如圖1所示，

∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，

∴∠ACB＝45°，

∴QD＝CQsin∠ACB＝·（x－4）＝x－4，

∴y1＝BPQD＝（x－4）（x－4）＝（x－4）2．

畫出函數圖象T，如圖2所示．

當直線y2＝x＋b與y1＝－x2＋2x（0≤x≤4）相切時，將y2＝x＋b代入y1＝－x2＋2x中，

整理得：－x2＋x－b＝0，

∵△＝12－4×（－）×（－b）＝0，

∴b＝；

當直線y2＝x＋b過點（0，0）時，有0＝b；

當直線y2＝x＋b過點（8，8）時，有8＝8＋b，

解得：b＝0；

當直線y2＝x＋b與y1＝（x－4）2（4＜x≤8）相切時，

將y2＝x＋b代入y1＝（x－4）2中，

整理得：x2－10x＋16－2b＝0，

∵△＝（－10）2－4×1×（16－2b）＝0，

∴b＝－．

綜上所述：當直線y2＝x＋b與T只有兩個交點時，b的取值范圍為且．

故答案為：且．