Question

如圖，拋物線y=x²+bx+c的頂點為D（-1，-4），與y軸交于點C（0，-3），與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接AC，CD，AD，試證明△ACD為直角三角形；
（3）若點E在拋物線的對稱軸上，拋物線上是否存在點F，使以A，B，E，F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出所有滿足條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由定點列式計算，從而得到b，c的值而得解析式；
（2）由解析式求解得到點A，得到AC，CD，AD的長度，而求證；
（3）由（2）得到的結論，進行代入，要使以A，B，E，F為頂點的四邊形是平行四邊形，必須滿足的條件是AB平行且等于EF，那么只需將E點的坐標向左或向右平移AB長個單位即可得出F點的坐標，然后將得出的F點坐標代入拋物線的解析式中，即可判斷出是否存在符合條件的F點．

解答：解：（1）由題意得

- b 2 =-1 4c-b2 4 =-4

，
解得：b=2，c=-3，
則解析式為：y=x²+2x-3；

（2）由題意結合圖形
則解析式為：y=x²+2x-3，
解得x=1或x=-3，
由題意點A（-3，0），
∴AC=

9+9

=3

2

，CD=

1+1

=

2

，AD=

4+16

=2

5

，
由AC²+CD²=AD²，
所以△ACD為直角三角形；

（3）∵A（-3，0），B（1，0），
∴AB=4，
∵點E在拋物線的對稱軸上，
∴點E的橫坐標為-1，
當AB為平行四邊形的一邊時，EF=AB=4，
∴F的橫坐標為3或-5，
把x=3或-5分別代入y=x²+2x-3，得到F的坐標為（3，12）或（-5，12）；
當AB為平行四邊形的對角線時，由平行四邊形的對角線互相平分，
∴F點必在對稱軸上，即F點與D點重合，
∴F（-1，-4）．
∴所有滿足條件的點F的坐標為（3，12），（-5，12），（-1，-4）．

點評：本題考查了二次函數的綜合運用，本題主要考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點的求法等知識點．主要考查學生數形結合的數學思想方法．