Question

【題目】如圖，拋物線過原點，且與軸交于點．

（1）求拋物線的解析式及頂點的坐標；

（2）已知為拋物線上一點，連接，，，求的值；

（3）在第一象限的拋物線上是否存在一點，過點作軸于點，使以，，三點為頂點的三角形與相似，若存在，求出滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為；頂點的坐標為；（2）3；（3）點的坐標為或．

【解析】

（1）用待定系數法即可求出拋物線的解析式，進而即可求出頂點坐標；

（2）先將點C的橫坐標代入拋物線的解析式中求出縱坐標，根據B,C的坐標得出，，從而有，最后利用求解即可；

（3）設為．由于，所以當以，，三點為頂點的三角形與相似時，分兩種情況：或，分別建立方程計算即可．

解：（1）∵拋物線過原點，且與軸交于點，

∴，解得．

∴拋物線的解析式為．

∵，

∴頂點的坐標為．

（2）∵在拋物線上，

∴．

作軸于，作軸于，

則，，

∴，．

∴．

∵，．

∴．

（3）假設存在．

設點的橫坐標為，則為．

由于，

所以當以，，三點為頂點的三角形與相似時，

有或

∴ 或．

解得或．

∴存在點，使以，，三點為頂點的三角形與相似．

∴點的坐標為或．