Question

【題目】如圖△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D為△ABC外一點，且AD⊥BD，BD交AC于E，G為BC上一點，且∠BCG＝∠DCA，過G點作GH⊥CG交CB于H．

（1）求證：CD＝CG；

（2）若AD＝CG，求證：AB＝AC+BH．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質可得∠BAC＝∠ABC＝45°，然后求出∠DAC＝∠GBC，再利用“角邊角”證明△ACD和△BCG全等，根據全等三角形對應邊相等證明即可；

（2）延長CG交AB于F，求出△CDG是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得∠CGD＝45°，然后求出∠BGH＝∠BGF，再求出BG＝CG，根據等邊對等角可得∠BCG＝∠CBG，然后根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠CBG＝22.5°，再求出∠GBF＝22.5°，從而得到∠CBG＝∠GBF，利用“角邊角”證明△BGF和△BGH全等，根據全等三角形對應邊相等可得BH＝BF，再求出∠ACF＝∠AFC＝67.5°，根據等角對等邊可得AC＝AF，然后根據AB＝AF+BF等量代換即可得證．

證明：（1）∵CA＝CB，∠ACB＝90°，

∴∠BAC＝∠ABC＝45°，

∵AD⊥BD，

∴∠DAC+45°+∠ABD＝90°，

∴∠DAC+∠ABD＝45°，

∵∠GBC+∠ABD＝∠ABC＝45°，

∴∠DAC＝∠GBC，

在△ACD和△BCG中， ，

∴△ACD≌△BCG（ASA），

∴CD＝CG；

（2）如圖，延長CG交AB于F，

∵∠BCG＝∠DCA，

∴∠DCG＝∠DCA+∠ACG＝∠BCG+∠ACG＝∠ACB＝90°，

又∵CD＝CG，

∴△CDG是等腰直角三角形，

∴∠CGD＝45°，

∵GH⊥CG，∠BGF＝∠CGD（對頂角相等），

∴∠BGH＝∠BGF，

∵△ACD≌△BCG，

∴AD＝BG，

∵AD＝CG，

∴BG＝CG，

∴∠BCG＝∠CBG，

由三角形的外角性質，∠BGF＝∠BCG+∠CBG＝45°，

∴∠CBG＝22.5°，

∴∠GBF＝∠ABC﹣∠CBG＝45°﹣22.5°＝22.5°，

∴∠CBG＝∠GBF，

在△BGF和△BGH中， ，

∴△BGF≌△BGH（ASA），

∴BH＝BF，

又∵∠AFC＝∠ABD+∠BGF＝22.5°+45°＝67.5°，

∴∠ACF＝180°﹣∠BAC﹣∠AFC＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，

∴∠ACF＝∠AFC＝67.5°，

∴AC＝AF，

∵AB＝AF+BF，

∴AB＝AC+BH．