Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2﹣2ax+3的圖象與x軸分別交于點A，B，與y軸交于點C，已知BO=CO．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點E在線段OB上，過點E作x軸的垂線交拋物線于點P，連結PA，若PA⊥CE，垂足為點F，求OE的長．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3；（2）OE的長為

【解析】

（1）利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標，由OB=OC可得出點B的坐標，根據點B的坐標利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

（2）設PA交y軸于點D，由∠ADO=∠CDF利用等角的余角相等可得出∠PAB=∠OCE，結合∠PEA=∠EOC=90°可得出△PEA∽△EOC，根據相似三角形的性質可得出=，設點E的坐標為（x，0），則點P的坐標為（x，﹣x2+2x+3），進而可得出關于x的方程，解之即可得出結論．

（1）當x=0時，y=3，∴點C的坐標為（0，3），∴OB=OC=3，∴點B的坐標為（3，0）．

∵拋物線y=ax2﹣2ax+3的圖象過點B（3，0），∴0=9a﹣6a+3，解得：a=﹣1，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．

（2）設PA交y軸于點D，如圖所示．

∵PA⊥CE，∴∠EFA=∠EOC=90°．

∵∠ADO=∠CDF，∴∠PAB=∠OCE．

∵PE⊥x軸，∴∠PEA=∠EOC=90°，∴△PEA∽△EOC，∴=．

設點E的坐標為（x，0），則點P的坐標為（x，﹣x2+2x+3），∴=，解得：x=或x=－1（舍去），即OE的長為．