Question

【題目】已知射線AP是△ABC的外角平分線，連結PB、PC．

（1）如圖1，若BP平分∠ABC，且∠ACB=30°，寫出∠APB的度數．

（2）如圖1，若P與A不重合，求證：AB+AC＜PB+PC．

（3）如圖2，若過點P作PM⊥BA，交BA延長線于M點，且∠BPC=∠BAC，求：的值．

Answer 1

【答案】（1）15°；（2）見解析；（3）2.

【解析】

（1）根據三角形的角平分線的定義和三角形外角的性質即可得到結論；
（2）在射線AD上取一點H，是的AH=AC，連接PH．則△APH≌△APC，根據三角形的三邊關系即可得到結論．
（3）過P作PN⊥AC于N，根據角平分線的性質得到PM=PN，根據全等三角形的性質得到AM=AN，BM=CN，于是得到結論．

（1）∵∠DAC=∠ABC+∠ACB，∠1=∠2+∠APB，

∵AE平分∠DAC，PB平分∠ABC，

∴∠1=DAC，∠2=∠ABC，

∴∠APB=∠1﹣∠2=DAC﹣ABC=∠ACB=15°，

故答案為：15°；

（2）在射線AD上取一點H，使得AH=AC，連接PH．

∵射線AP是△ABC的外角平分線，∴∠HAP=∠PAC，

則

故△APH≌△APC，

∴PC=PH，

在△BPH中，PB+PH＞BH，

∴PB+PC＞AB+AC．

（3）過P作PN⊥AC于N，

∵AP平分∠MAN，PM⊥BA，

∴PM=PN，

在Rt△APM與Rt△APN中， ，

∴Rt△APM≌Rt△APN（HL），

∴AM=AN，

∵∠BPC=∠BAC，

∴A，B，C，P四點共圓，

∴∠ABP=∠PCN，

在△PMB與△PNC中， ，

∴BM=CN，

∵AM=AN，

∴AC﹣AB=2AM，

∴=2．