Question

【題目】如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分別為AD、BC的中點，E、F分別是BM、CM的中點.

⑴求證：△ABM≌△DCM;

⑵四邊形MENF是什么圖形？請證明你的結論；

⑶若四邊形MENF是正方形，則梯形的高與底邊BC有何數量關系？并請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）四邊形MENF是菱形，理由見解析；（3）梯形的高等于底邊BC的一半，理由見解析

【解析】

（1）已知四邊形ABCD為等腰梯形，M為AD的中點，推出AB=DC，∠A=∠D，AM=DM故可證明三角形全等；
（2）由（1）證明三角形全等得出MB=MC，根據三角形中位線定理，推出四邊形MENF是菱形；
（3）由四邊形MENF是正方形，得出∠BMC= 90°，△BMC是等腰直角三角形，根據等腰三角形三線合一的定理和直角三角形斜邊上的中線可推出MN⊥BC且MN=BC．

證明：（1）∵四邊形ABCD是等腰梯形，

∴∠A= ∠D， AB=DC.

∵AM=DM，

∴△ABM≌△DCM.；

（2）四邊形MENF是菱形，理由如下：

∵ △ABM≌△DCM，

∴MB=MC.

∵M、N 、 E、F分別為AD、BC 、 BM、CM的中點，

∴NE=MC=MF， NF=MB=ME，

則NE=MF=NF=ME ， 即四邊形MENF是菱形；

（3）梯形的高等于底邊BC的一半. 連接MN，

∵四邊形MENF是正方形，

∴∠BMC= 90°.

∵BM=CM， ∴△BMC是等腰直角三角形

又∵N點是BC的中點

∴MN⊥BC且MN=BC