Question

【題目】（1）如圖①，分別以△ABC的邊AB、AC為一邊向形外作正方形ABDE和正方形ACGF．求證S△AEF＝S△ABC．

（2）如圖②，分別以△ABC的邊AB、AC、BC為邊向形外作正方形ABDE、ACGF、BCHI，可得六邊形DEFGHI，若S正方形ABDE＝17，S正方形ACGF＝25，S正方形BCHI＝16，求S六邊形DEFGHI．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）90.

【解析】

（1）過點C作CM⊥AB，過F作FN⊥EA與EA的延長線交于點N，求出∠CAM＝∠FAN，然后證明△AMC≌△ANF（AAS），得到CM＝FN，根據三角形面積公式可得結論；

（2）由（1）可得：S△AEF＝S△ABC＝S△BDI＝S△CHG，過點A作AO⊥BC于O，設BO＝x，則CO＝4x，根據勾股定理列方程得：17x2＝25（4x）2，解得x＝1，求出AO，根據面積和可得S六邊形DEFGHI．

證明：（1）如圖①，過點C作CM⊥AB，過F作FN⊥EA與EA的延長線交于點N，

∴∠CMA＝∠ANF＝90°，

∵四邊形ABDE和四邊形ACGF是正方形，

∴AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠BAN＝∠CAF＝90°，

∴∠CAM+∠CAN＝∠FAN+∠CAN＝90°，

∴∠CAM＝∠FAN，

在△AMC和△ANF中，

∵，

∴△AMC≌△ANF（AAS），

∴CM＝FN，

∴AEFN＝，

∴S△AEF＝S△ABC；

（2）由上題結論得：S△AEF＝S△ABC＝S△BDI＝S△CHG，

∵S正方形ABDE＝17，S正方形ACGF＝25，S正方形BCHI＝16，

∴AB＝，AC＝5，BC＝4，

過點A作AO⊥BC于O，設BO＝x，則CO＝4﹣x，

在Rt△ABO和Rt△ACO中，AO2＝AB2﹣BO2＝AC2﹣CO2，即17﹣x2＝25﹣（4﹣x）2，

解得：x＝1，即BO＝1，

∴，

S六邊形DEFGHI＝S正方形ABDE+S正方形BCHI+S正方形ACGF+S△AEF+S△BDI+S△CHG+S△ABC，

＝17+25+16+4××4×4，

＝90．