Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝4，AD＝3，動點M、N分別從D、B同時出發，以1個單位/秒的速度運動，點M沿DA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動。過點N作NP⊥BC，交AC于點P，連結MP。已知動點運動了秒。

小題1:請直接寫出PN的長           ；（用含的代數式表示）
小題2:若0秒≤≤3秒，試求△MPA的面積S與時間秒的函數關系式，并求S的最大值。
小題3:若0秒≤≤3秒，△MPA能否與△PCN相似？若能，試求出相似時的對應值；若不能，試說明理由。

Answer 1

小題1:；
小題2:延長NP交AD于點Q，則PQ⊥AD，由⑴得：PN＝，
則。
依題意，可得：
∵0≤≤1.5
∴當時，S有最大值，S_最大值＝。…………………4分
小題3:能相似
共有兩種情況，以下分類說明：
①  …………………2分
②3或…………………2分
綜上所述，當，或，或時，△MPA與△NPA相似

（1）可在直角三角形CPN中，根據CN的長和∠CPN的正切值求出．
（2）三角形MPA中，底邊AM的長為3-x，關鍵是求出MA邊上的高，可延長NP交AD于Q，那么PQ就是三角形AMP的高，可現在直角三角形CNP中求出PN的長，進而根據AB的長，表示出PQ的長，根據三角形的面積公式即可得出S與x的函數關系式．根據函數的性質可得出S的最大值．
（3）本題要分三種情況：
①MP=PA，那么AQ=BN=AM，可用x分別表示出BN和AM的長，然后根據上述等量關系可求得x的值．
②MA=MP，在直角三角形MQP中，MQ=MA-BN，PQ=AB-PN根據勾股定理即可求出x的值．
③MA=PA，不難得出AP=BN，然后用x表示出AM的長，即可求出x的值．