Question

【題目】在平面直角坐標系中，點，為反比例函數上的兩個動點，以，為頂點構造菱形．

（1）如圖1，點，橫坐標分別為1，4，對角線軸，菱形面積為．求的值．

（2）如圖2，當點，運動至某一時刻，點，點恰好落在軸和軸正半軸上，此時．求點，的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2），

【解析】

(1) 由菱形的性質可得BD=2BE=6, AC⊥DB,由菱形的面積公式可求AC= ,設點B (4，a)，則點A (1, +a)，代入解析式可求a的值，即可求k的值;

(2)過點A作AE⊥y軸于點E,過點B作BF⊥x軸于點F,設點A (m, )，由全等三角形的性質可得AE=DO=CF=m, DE=OC=BF=-m,可求點B坐標，代入解析式可求解．

（1）如圖，連結交于點．

∵，的橫坐標分別為1，4，軸．

∴

∵菱形的對角線，相交于點

∴，AC⊥DB

∵

∴

∴AE=CE=

設，

∵點，都在反比例函數上

∴解得．

∴．

（2）如圖，過點作軸，過點作軸．

由（1）可知點，在反比例函數上，設

∵菱形中，

∴四邊形是正方形

∴，

∴∠ADM+∠MAD=90°，∠MDA+∠CDO=90°，∠DCO+∠CDO=90°，∠BCN+∠DCO=90°，

∴∠MAD=∠CDO=∠BCN，且∠AMD=∠DOC=∠CNB90°，AD=CD=BC，

∴．

∴，

∴．

∴．

由此可知點的坐標為，

將點代入得

或（舍去）

∴，