Question

【題目】如圖，已知菱形ABCD中，，點E是BC邊上的一點（不與B，C重合），以BE為邊構造菱形BEFG，使點G落在AB的延長線上，連接BD，GE，射線FE交BD于點H.

（1）求證：四邊形BGEH是平行四邊形；

（2）請從下面AB兩題中任選一題作答，我選擇______題.

A.若四邊形BGEH為菱形，則BD的長為_____.

B.連接HC，CF，BF，若，且四邊形BHCF為矩形，則CF的長為______.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）A.5 ，B.3.

【解析】

（1）由菱形的性質，得到，，則得到，得到BD∥EG，又BG∥HE，即可得到結論成立；

（2）A、由四邊形BEFG是菱形，則BG=BE，由四邊形BGEH為菱形，則BG=BH=EH，得△BEH是等邊三角形，則∠CDH=∠EHB=60°，得到△BCD是等邊三角形，則BD=CD=5；

B、如圖，連接HC，CF，BF，且四邊形BHCF為矩形，則CH⊥BD，點H為對角線AC與BD的交點，此時CF=BH=，即可得到答案.

（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴，，

∴，，

∴，

∵四邊形BEFG是菱形，

∴，，

∴，

∴，

∴BD∥EG，

∵，

∴，

∴四邊形BGEH是平行四邊形；

（2）A、解：∵四邊形BEFG是菱形，

∴BG=BE，

∵四邊形BGEH為菱形，

∴BG=BH=EH，

∴BH=EH=BE，

∴△BEH是等邊三角形，

∠BHE=60°，

∵HE∥DC，

∴∠BDC=60°，

∴△BCD是等邊三角形，

∴BD=DC=AB=5；

故答案為：5.

B、解：如圖，連接HC，CF，BF，

∵四邊形BFCH是矩形，

∴CH⊥BD，CF=BH，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴點H是BD的中點，

∴BH=，

∴CF=3.

故答案為：3.