Question

如圖：已知正方形ABCD的對角線AC長為20cm，半徑為1的⊙O₁的圓心O₁從A點出發以1cm/s的速度向C運動，半徑為1的⊙O₂的圓心O₂從C點出發以2cm/s的速度向A運動且半徑同時也以1cm/s的速度不斷增大，兩圓同時運動，當其中一個圓的圓心運動到AC的端點時，另一個圓也停止運動．

（1）當O₁運動了幾秒時，⊙O₁與AD相切？
（2）當O₂運動了幾秒時，⊙O₂與CB相切？
（3）當O₂運動了幾秒時，⊙O₁與⊙O₂相切？

Answer 1

（1）（2）（3）4.5秒、5秒、10秒

試題分析：
解：（1）設⊙O₁運動了t秒時⊙O₁與AD相切于E連接OE，∴OE⊥AD，∵AC為正方形的對角線，∴△A O₁E為等腰直角三角形，∴AE=O₁E=1，∵A O₁=t∴t²=1²+1²，解得t₁=，t₂=-（舍去），當O₁運動了秒時⊙O₁與AD相切；
（2）設O₂運動了t秒時，⊙O₂與BC相切于F，則△C O₂F為等腰直角三角形，
∴CF=O₂F=t+1，∵C O₂=2t，∴（2t）²=（t+1）²+（t+1）²
解得t₁=，t₂=（舍去），∴當O₂運動了（）秒時，⊙O₂與BC相切；
（3）設運動了t秒時⊙O₁，⊙O₂相切，則O₁A=t，O₂C=2t，①如圖③⊙O₁與⊙O₂第一次相切時，則O₁ O₂=1+t+1，∵O₁ O₂=AC-O₁A-O₂C，∴1+t+1=20-t-2t，解得t=，
②如圖④⊙O₁與⊙O₂第二次相切時則O₁ O₂=t+1-1，∵O₁ O₂=20-t-2t，∴t+1-1=20-t-2t  解得t=5，（2分）
③如圖⑤⊙O₁與⊙O₂第三次相切時則O₁ O₂=t+1-1=t，∵O₁ O₂=O₁A-O₂C-AC=t+2t-20，∴t=t+2t-20， 解得t=10，∵t=10時，O₂C=2×10=20∴此時O₂落在AC的端點A上，（2分）∴當運動了4.5秒、5秒、10秒時⊙O₁與⊙O₂相切．

點評：該題運用的知識點較為簡單，兩圓相切，半徑的關系要清楚，相切有內切和外切，學生要分情況分析。