Question

如圖所示，在RtABC中，∠C=90°,∠BAC=60°，AB=8.半徑為的⊙M與射線BA相切，切點為N，且AN=3.將RtABC繞A點順時針旋轉(zhuǎn)120°后得到RtADE，點B、C的對應(yīng)點分別是點D、E.
(1)畫出旋轉(zhuǎn)后的RtADE，求出RtADE 的直角邊DE被⊙M截得的弦PQ的長度；
(2)判斷RtADE的斜邊AD所在的直線與⊙M的位置關(guān)系（直接寫出答案）

Answer 1

（1）解：如圖所示 ，過M作MF⊥PQ于F，連接MP 
MF=NE=AE-AN=AC-AN=4-3=1   
在Rt△PFM中， PM²= PF² +FM²          PF=
PQ=2
(2)  AD與⊙M相切．
證明：過點M作MH⊥AD于H，連接MN，MA，則MN⊥AE，且MN=" 3" ，

在Rt△AMN中，tan∠MAN= ，
∴∠MAN=30°，
∵∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠MAD=30°，
∴∠MAN=∠MAD=30°，
∴MH=MN，
∴AD與⊙M相切．

（1）把三角形AB旋轉(zhuǎn)120°就能得到圖形．
（2）連接MQ，過M點作MF⊥DE，由AN=3，AC=4，求出NE的長；在Rt△MFQ中，利用勾股定理可求出QF，根據(jù)垂徑定理知QF就是弧長PQ的一半．
（3）過M作AD的垂線設(shè)垂足為H，然后證MH與⊙M半徑的大小關(guān)系即可；連接AM、MN，由于AE是⊙M的切線，故MN⊥AE，在Rt△AMN中，通過解直角三角形，易求得∠MAN=30°，由此可證得AM是∠DAE的角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到MH=MN，由此可證得⊙M與AD相切．