Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90º，∠ABC=30º，BC=，以AC為邊在△ABC的外部作等邊△ACD，連接BD．
（1）求四邊形ABCD的面積；
（2）求BD的長．

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）先解直角△ABC，得出AC=2，AB=4，則△ABC的面積=AC•BC=，再過點(diǎn)D作DE⊥AC于E，解直角△ADE，得出DE=，則△ACD的面積=AC•DE=，則根據(jù)四邊形ABCD的面積=△ABC的面積+△ACD的面積求解.
（2）過點(diǎn)D作DF⊥AB于F．先求出∠DAF=180°-∠BAC-∠DAC=60°，再解直角△ADF，得出AF=1，DF=
，則BF=AF+AB=5，然后在直角△BDF中運(yùn)用勾股定理即可求出BD的長度．
試題解析：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=，
∴AC=2，AB=4．
∴△ABC的面積=AC•BC=×2×=．
∵△ACD為等邊三角形，
∴AD=AC=2，∠DAC=60°．
過點(diǎn)D作DE⊥AC于E．
在△ADE中，∵∠AED=90°，∠DAE=60°，AD=2，
∴.
∴△ACD的面積=AC•DE=×2×=.
∴四邊形ABCD的面積=△ABC的面積+△ACD的面積=.
（2）過點(diǎn)D作DF⊥AB于F．
∵∠BAC=60°，∠DAC=60°，
∴∠DAF=180°-∠BAC-∠DAC=60°．
在△ADF中，∠AFD=90°，∠DAF=60°，AD=2，
∴AF=1，DF=.
∴BF=AF+AB=1+4=5，
∴.