Question

【題目】如圖1，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，點E，F分別在邊AB，BC上，且BF＝FC，連接DE，EF，并以DE，EF為邊作DEFG．

（1）連接DF，求DF的長度；

（2）求DEFG周長的最小值；

（3）當DEFG為正方形時（如圖2），連接BG，分別交EF，CD于點P、Q，求BP：QG的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）6；（3）或 ．

【解析】

（1）平行四邊形DEFG對角線DF的長就是Rt△DCF的斜邊的長，由勾股定理求解；

（2）平行四邊形DEFG周長的最小值就是求鄰邊2（DE+EF）最小值，DE+EF的最小值就是以AB為對稱軸，作點F的對稱點M，連接DM交AB于點N，點E與N點重合時即DE+EF＝DM時有最小值，在Rt△DMC中由勾股定理求DM的長；

（3）平行四邊形DEFG為矩形時有兩種情況，一是一般矩形，二是正方形，分類用全等三角形判定與性質，等腰直角三角形判定與性質，三角形相似的判定與性質和勾股定理求解．

解：（1）如圖1所示：

∵四邊形ABCD是矩形，

∠C＝90°，AD＝BC，AB＝DC，

∵BF＝FC，AD＝2；

∴FC＝1，

∵AB＝3；

∴DC＝3，

在Rt△DCF中，由勾股定理得，

∴DF＝＝＝；

（2）如圖2所示：

作點F關直線AB的對稱點M，連接DM交AB于點N，

連接NF，ME，點E在AB上是一個動點，

①當點E不與點N重合時點M、E、D可構成一個三角形，

∴ME+DE＞MD，

②當點E與點N重合時點M、E（N）、D在同一條直線上，

∴ME+DE＝MD

由①和②DE+EF的值最小時就是點E與點N重合時，

∵MB＝BF，

∴MB＝1，

∴MC＝3，

又∵DC＝3，

∴△MCD是等腰直角三角形，

∴MD＝＝＝3，

∴NF+DN＝MD＝3，

∴l平行四邊形DEFG＝2（NF+DF）＝6；

（3）設AE＝x，則BE＝3﹣x，

∵平行四邊形DEFG為矩形，∴∠DEF＝90°，

∵∠AED+∠BEF＝90°，∠BEF+∠BFE＝90°，

∴∠AED＝∠BFE，

又∵∠A＝∠EBF＝90°，

∴△DAE∽△EBF，

∴＝，

∴＝，

解得：x＝1，或x＝2

①當AE＝1，BE＝2時，過點B作BH⊥EF，

如圖3（甲）所示：

∵平行四邊形DEFG為矩形，

∴∠A＝∠ABF＝90°，

又∵BF＝1，AD＝2，

∴在△ADE和△BEF中，，

∴△ADE≌△BEF中（SAS），

∴DE＝EF，

∴矩形DEFG是正方形；

在Rt△EBF中，由勾股定理得：

EF＝＝＝，

∴BH＝＝，

又∵△BEF～△ＨBF，

∴＝，

HF＝＝＝，

在△BPH和△GPF中有：∠BPH＝∠GPF，∠BHP＝∠GFP，

∴△BPH∽△GPF，

∴＝＝＝，

∴PF＝HF＝，

又∵EP+PF＝EF，

∴EP＝﹣＝，

又∵AB∥BC，EF∥DG，

∴∠EBP＝∠DQG，∠EPB＝∠DGQ，

∴△EBP∽△DQG（AA），

∴＝＝＝，

②當AE＝2，BE＝1時，過點G作GH⊥DC，

如圖3（乙）所示：

∵DEFG為矩形，

∴∠A＝∠EBF＝90°，

∵AD＝AE＝2，BE＝BF＝1，

∴在Rt△ADE和Rt△EFB中，由勾股定理得：

∴ED＝＝2，

EF＝＝＝，

∴∠ADE＝45°，

又∵四邊形DEFG是矩形，

∴EF＝DG，∠EDG＝90°，

∴DG＝，∠HDG＝45°，

∴△DHG是等腰直角三角形，

∴DH＝HG＝1，

在△HGQ和△BCQ中有，∠GHQ＝∠BCQ，∠HQG＝∠CQB，

∴△HGQ∽△BCQ，

∴＝＝，

∵HC＝HQ+CQ＝2，

∴HQ＝，

又∵DQ＝DH+HQ，

∴DQ＝1+＝，

∵AB∥DC，EF∥DG，

∴∠EBP＝∠DQG，∠EPB＝∠DGQ，

∴△EBP∽△DQG（AA），

∴＝，

綜合所述，BP：QG的值為或．