Question

【題目】在平面直角坐標系中，點A、C的坐標分別是（﹣1，0）和（2，0），以OC為直徑作圓⊙P，AB切⊙P于點B，交y軸于點E．點M是劣弧上一動點，CM交BP于點N，BM交x軸于點D．

（1）求點E的坐標；

（2）當點M在弧BO上運動時，PD﹣PN的值是否變化？為什么？

Answer 1

【答案】（1）E（0，）；（2）PD﹣PN 值不變，理由見解析

【解析】

(1) 根據切線的性質和直角三角形的邊關系解答即可;

(2) 連接OB,根據等邊三角形的性質和全等三角形的判定與性質得出OD=PN, 進而解答即可.

（1）∵A（﹣1，0），C（2，0），

∴OA=1，OC=2，

∵以OC為直徑作⊙P，

∴OP=PC=OC=1=OA，

∴AP=2，

∵AB切⊙P于點B，

∴∠APB=90°，BP=OP=1，

∴BP=AP，

則在直角△ABP中，∠BAP=30°，

∴直角△AEO中，OE=，

∴E（0，）

（2）判斷：PD﹣PN 值不變，

理由：連接OB，由（1）可知∠APB=90°，BP=AP，則∠BAP=30°，∠APB=60°，

∵BP=OP，

∴△OBP為等邊三角形，

∴OB=BP=PC，∠BOP=∠BPO=60°，

∵∠BOD+∠BOP=∠BPO+∠CPN，

∴∠BOD=∠CPN，

∵∠OBM與∠OCM為同所對的圓周角，

∴∠OBM=∠OCM，

在△OBD與△PCN中，，

∴△OBD≌△PCN（ASA），

∴OD=PN，

∴PD﹣PN=PD﹣OD=PO=1，

∴PD﹣PN 值不變．