Question

（2012•和平區(qū)模擬）如圖，拋物線y=x²-2x+a（a＜0）與y軸相交于點A，頂點為M直線y=

1

2

x-a分別與x軸、y軸相交于B、C兩點，并且與直線AM相交于點N．
（1）填空：試用含a的代數(shù)式分別表示點M與N的坐標(biāo)，則M

（1，a-1）

，N

（

4

3

a，-

1

3

a）

；
（2）若點N關(guān)于y軸的對稱點N′恰好落在拋物線上，求此時拋物線的解析式；
（3）在拋物線y=x²-2x+a（a＜0）上是否存在點P．使得以P、A、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出P點的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了拋物線的解析式，不難用公式法求出M的坐標(biāo)為（1，a-1）．由于拋物線過A點，因此A的坐標(biāo)是（0，a）．根據(jù)A，M的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可得出直線AM的解析式為y=-x+a．直線AM和y=

1

2

x-a聯(lián)立方程組即可求出N的坐標(biāo)為（

4

3

a，-

1

3

a）．
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)不難得出N與N′正好關(guān)于y軸對稱，因此N′的坐標(biāo)為（-

4

3

a，-

1

3

a）．由于N′在拋物線上，因此將N′的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可得出a的值．
（3）本題可分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)P在y軸左側(cè)時，如果使以P，N，A，C為頂點的四邊形為平行四邊形，那么P需要滿足的條件是PN平行且相等于AC，也就是說，如果N點向上平移AC個單位即-2a后得到的點就是P點．然后將此時P的坐標(biāo)代入拋物線中，如果沒有解說明不存在這樣的點P，如果能求出a的值，那么即可求出此時P的坐標(biāo)．
②當(dāng)P在y軸右側(cè)時，P需要滿足的條件是PN與AC應(yīng)互相平分（平行四邊形的對角線互相平分），那么NP必過原點，且關(guān)于原點對稱．那么可得出此時P的坐標(biāo)，然后代入拋物線的解析式中按①的方法求解即可．

解答：解：（1）∵y=x²-2x+a=（x-1）²-1+a，
∴頂點M的坐標(biāo)為；（1，a-1），
由于拋物線過A點，因此A的坐標(biāo)是（0，a）．
設(shè)直線AM的解析式為y=kx+b，
則

b=a k+b=a-1

，
解得：

k=-1 b=a

，
則直線AM的解析式為：y=-x+a．
直線AM和y=

1

2

x-a聯(lián)立方程組，

y=-x+a y= 1 2 x-a

，
解得：

x= 4 3 a y=- 1 3 a

，
即可求出N的坐標(biāo)為（

4

3

a，-

1

3

a）．

（2）∵由題意得點N與點N′關(guān)于y軸對稱，
∴N′（-

4

3

a，-

1

3

a）．
將N′的坐標(biāo)代入y=x²-2x+a得：
-

1

3

a=

16

9

a²+

8

3

a+a，
∴a₁=0（不合題意，舍去），a₂=-

9

4

．
∴此時拋物線的解析式為：y=x²-2x-

9

4

；

（3）存在，理由如下：
當(dāng)點P在y軸的左側(cè)時，若四邊形ACPN是平行四邊形，則PN平行且等于AC，
由A（0，a），C（0，-a），得AC=-2a，
則把N向上平移-2a個單位得到P，坐標(biāo)為（

4

3

a，-

7

3

a），代入拋物線的解析式，
得：-

7

3

a=

16

9

a²-

8

3

a+a，
解得a₁=0（不舍題意，舍去），a₂=-

3

8

，
則P（-

1

2

，

7

8

）；
當(dāng)點P在y軸的右側(cè)時，若四邊形APCN是平行四邊形，則AC與PN互相平分，
由A（0，a），C（0，-a），則OA=OC，OP=ON．
則P與N關(guān)于原點對稱，
則P（-

4

3

a，

1

3

a）；
將P點坐標(biāo)代入拋物線解析式得：

1

3

a=

16

9

a²+

8

3

a+a，
解得a₁=0（不合題意，舍去），a₂=-

15

8

，
則P（

5

2

，-

5

8

）．
故存在這樣的點P₁（-

1

2

，

7

8

）或P₂（

5

2

，-

5

8

），能使得以P，A，C，N為頂點的四邊形是平行四邊形．
故答案為：（1，a-1），（

4

3

a，-

1

3

a）．

點評：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平行四邊形的性質(zhì)等重要知識點，綜合性強(qiáng)，能力要求較高．考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．