Question

已知拋物線y=x²+4x+m（m為常數）經過點（0，4）。
（1）求m的值；
（2）將該拋物線先向右、再向下平移得到另一條拋物線，已知平移后的拋物線滿足下述兩個條件：它的對稱軸（設為直線l₂）與平移前的拋物線的對稱軸（設為直線l₁）關于y軸對稱；它所對應的函數的最小值為-8；
① 試求平移后的拋物線的解析式；
②試問在平移后的拋物線上是否存在點P，使得以3為半徑的圓P既與x軸相切，又與直線l₂相交？若存在，請求出點P的坐標，并求出直線l₂被圓P所截得的弦AB的長度；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）代入（0，4）得m=4；
（2）①平移前對稱軸l₁為x=-2，平移后對稱軸l₂為x=2，最小值為-8，故拋物線方程為y=（x-2）²-8；
②設P的坐標為（x₀，y₀），則y₀=-3，x₀=2±或y₀=3，x₀=2±，
又P到x=2的距離小于3，故x₀=2±舍去，綜上，存在這樣的點P，且點P的坐標為（-3，2±）。