Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的邊AD在y軸正半軸上，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（0，1）、（2，4）．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A?B?C以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)C停止；點(diǎn)Q在x軸上，橫坐標(biāo)為點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)之和．拋物線y=-

1

4

x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn)．過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M，交拋物線于點(diǎn)R．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），△PQR的面積為S（平方單位）．
（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）分別求t=1和t=4時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)0＜t≤5時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出S的最大值．
參考公式：拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-

b

2a

，

4ac-b2

4a

)．

Answer 1

分析：（1）由于拋物線過A、C兩點(diǎn)，因此可根據(jù)A、C的坐標(biāo)用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（2）當(dāng)t=1時(shí)，P在AB上，AP=1因此P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1）；Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）．
當(dāng)t=4時(shí)，此時(shí)P在BC上，且BP=4-AB=2，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3）；Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，0）
（3）本題要分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)P在AB上時(shí)，即當(dāng)0＜t≤2時(shí)，AP=t，OQ=t+OA=t+1，MQ=t+1-t=1，將P的橫坐標(biāo)即t代入拋物線的解析式中即可求出R的縱坐標(biāo)的值即RM的長(zhǎng)．進(jìn)而可求出PR的長(zhǎng)，由此可根據(jù)S_△RPQ=

1

2

RP•MQ=

1

2

PR，求出S與t的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出S的最大值．
②當(dāng)P在BC上時(shí)，即當(dāng)2＜t≤5時(shí)，BP=t-AB=t-2，PM=t-AB+OA=t-1．而此時(shí)R與C重合，因此RM=4，因此RP=5-t，而
QM=OQ-AB=2+（t-2+1）-2=t-1．然后根據(jù)①的方法即可求出S的最大值．

解答：解：（1）由拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（0，1），C（2，4），
得

c=1 - 1 4 ×22+2b+c=4

，
解得

b=2 c=1

，
∴拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為：y=-

1

4

x²+2x+1．

（2）當(dāng)t=1時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）．
當(dāng)t=4時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3），
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0）．

（3）∵0＜t≤5，
當(dāng)0＜t≤2時(shí)，S=

1

2

（-

1

4

t²+2t+1-1）×1，
S=-

1

8

t²+t=-

1

8

（t-4）²+2，
∵t=4不在0＜t≤2中，
∴當(dāng)t=2時(shí)（如圖所示），S的最大值為1.5；
當(dāng)2＜t≤5時(shí)，S=

1

2

（5-t）（2+t-2+1-2），
S=-

1

2

t²+3t-

5

2

=-

1

2

（t-3）²+2，
因此當(dāng)t=3時(shí)，S的最大值為2．
綜上所述，S的最大值為2．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的應(yīng)用；在（3）題中要根據(jù)P點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類討論，不要漏解．