Question

【題目】已知拋物線經過點A（﹣3，0），F（8，0），B（0，4）三點

（1）求拋物線解析式及對稱軸；
（2）若點D在線段FB上運動（不與F，B重合），過點D作DC⊥軸于點C（x，0），將△FCD沿CD向左翻折，點B對應點為點E，△CDE與△FBO重疊部分面積為S．
①試求出S與x之間的函數關系式，并寫出自變量取值范圍．
②是否存在這樣的點C，使得△BDE為直角三角形，若存在，求出C點坐標，若不存在，請說明理由；
（3）拋物線對稱軸上有一點M，平面內有一點N，若以A，B，M，N四點組成的四邊形為菱形，求點N的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設拋物線解析式為y=a（x+3）（x﹣8），

將點B（0，4）代入得4=a×（0+3）×（0﹣8），

解得a=﹣ ．

故拋物線解析式為y=﹣ （x+3）（x﹣8），

對稱軸為x=（﹣3+8）÷2= ；

（2）

解：CE=CF=8﹣x，CD=4﹣ x，

①當0＜x＜4時，

S= （8﹣x）（4﹣ x）×[1﹣（ ）2]=﹣ x2+4x；

當4≤x＜8時，

S= （8﹣x）（4﹣ x）= x2﹣4x+16；

②分兩種情況：當∠BED=90°時，△BOE∽△ECD，

∴ = =2，

∴EC=3，

∴C1（5，0）；

當∠EBD=90°時；

△EOB∽△BOF，

∴ = =2，

∴EO=2，

∴EC= =5，

∴C2（3，0）；

（3）

解：①以AB為邊，以B為圓心，AB為半徑畫圓交對稱軸于M1，M2兩點，

M1I= = ，

由BM1，平移至AN1得，N1（﹣ ， ），N2（﹣ ，﹣ ），

以A為圓心，AB為半徑畫圓，此時與對稱軸沒有交點，故不存在；

②以AB為對角線，直線AB的解析式為：y= x+4，

則AB的中垂線MN的解析式為：y=﹣ x+ ，

當x= 時，y=﹣1，

∴M（ ，﹣1），

∴N3（﹣ ，5）．

綜上所述：N1（﹣ ， ），N2（﹣ ，﹣ ），N3（﹣ ，5）．

【解析】（1）可設拋物線解析式為y=a（x+3）（x﹣8），將點B（0，4）代入已知拋物線方程，解得a的值即可；（2）①分兩種情況：0＜x＜4；4≤x＜8；進行討論可求S與x之間的函數關系式；②分兩種情況：當∠BED=90°時；當∠EBD=90°時；進行討論可求C點坐標；（3）分兩種情況：①以AB為邊，以B為圓心，AB為半徑畫圓交對稱軸于M1 ， M2兩點；②以AB為對角線；進行討論可求點N的坐標．