Question

（2013•重慶）如圖，已知拋物線y=x²+bx+c的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B（5，0），另一個(gè)交點(diǎn)為A，且與y軸交于點(diǎn)C（0，5）．
（1）求直線BC與拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)M是拋物線在x軸下方圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥y軸交直線BC于點(diǎn)N，求MN的最大值；
（3）在（2）的條件下，MN取得最大值時(shí)，若點(diǎn)P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點(diǎn)，以BC為邊作平行四邊形CBPQ，設(shè)平行四邊形CBPQ的面積為S₁，△ABN的面積為S₂，且S₁=6S₂，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，將B（5，0），C（0，5）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式；同理，將B（5，0），C（0，5）兩點(diǎn)∑的坐標(biāo)代入y=x²+bx+c，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）MN的長(zhǎng)是直線BC的函數(shù)值與拋物線的函數(shù)值的差，據(jù)此可得出一個(gè)關(guān)于MN的長(zhǎng)和M點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出MN的最大值；
（3）先求出△ABN的面積S₂=5，則S₁=6S₂=30．再設(shè)平行四邊形CBPQ的邊BC上的高為BD，根據(jù)平行四邊形的面積公式得出BD=3

2

，過(guò)點(diǎn)D作直線BC的平行線，交拋物線與點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)E，在直線DE上截取PQ=BC，則四邊形CBPQ為平行四邊形．證明△EBD為等腰直角三角形，則BE=

2

BD=6，求出E的坐標(biāo)為（-1，0），運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線PQ的解析式為y=-x-1，然后解方程組

y=-x-1 y=x2-6x+5

，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，
將B（5，0），C（0，5）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，
得

5m+n=0 n=5

，解得

m=-1 n=5

，
所以直線BC的解析式為y=-x+5；
將B（5，0），C（0，5）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=x²+bx+c，
得

25+5b+c=0 c=5

，解得

b=-6 c=5

，
所以拋物線的解析式為y=x²-6x+5；

（2）設(shè)M（x，x²-6x+5）（1＜x＜5），則N（x，-x+5），
∵M(jìn)N=（-x+5）-（x²-6x+5）=-x²+5x=-（x-

5

2

）²+

25

4

，
∴當(dāng)x=

5

2

時(shí)，MN有最大值

25

4

；

（3）∵M(jìn)N取得最大值時(shí)，x=2.5，
∴-x+5=-2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）．
解方程x²-6x+5=0，得x=1或5，
∴A（1，0），B（5，0），
∴AB=5-1=4，
∴△ABN的面積S₂=

1

2

×4×2.5=5，
∴平行四邊形CBPQ的面積S₁=6S₂=30．
設(shè)平行四邊形CBPQ的邊BC上的高為BD，則BC⊥BD．
∵BC=5

2

，
∴BC•BD=30，
∴BD=3

2

．
過(guò)點(diǎn)D作直線BC的平行線，交拋物線與點(diǎn)P，交x軸于點(diǎn)E，在直線DE上截取PQ=BC，則四邊形CBPQ為平行四邊形．
∵BC⊥BD，∠OBC=45°，
∴∠EBD=45°，
∴△EBD為等腰直角三角形，BE=

2

BD=6，
∵B（5，0），
∴E（-1，0），
設(shè)直線PQ的解析式為y=-x+t，
將E（-1，0）代入，得1+t=0，解得t=-1
∴直線PQ的解析式為y=-x-1．
解方程組

y=-x-1 y=x2-6x+5

，得

x1=2 y1=-3

，

x2=3 y2=-4

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為P₁（2，-3）（與點(diǎn)D重合）或P₂（3，-4）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生運(yùn)用方程組、數(shù)形結(jié)合的思想方法．（2）中弄清線段MN長(zhǎng)度的函數(shù)意義是關(guān)鍵，（3）中確定P與Q的位置是關(guān)鍵．