Question

正方形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是射線AB上一點(diǎn)，點(diǎn)F是直線AD上一點(diǎn)，BE=DF，連接EF交線段BD于點(diǎn)G，交AO于點(diǎn)H．若AB=3，AG=，則線段EH的長(zhǎng)為　 　．

Answer 1

或

試題分析：由EF與線段BD相交，可知點(diǎn)E、F位于直線BD的兩側(cè)，因此有兩種情形：
①點(diǎn)E在線段AB上，點(diǎn)F在線段AD延長(zhǎng)線上，依題意畫出圖形，如圖所示：

過點(diǎn)E作EM⊥AB，交BD于點(diǎn)M，則EM∥AF，△BEM為等腰直角三角形，
∵EM∥AF，∴∠EMG=∠FDG，∠GEM=∠F。
∵△BEM為等腰直角三角形，∴EM=BE。
∵BE=DF，∴EM=DF。
∵在△EMG與△FDG中，EM=DF，∠EMG=∠FDG，∠GEM=∠F，
∴△EMG≌△FDG（ASA）。
∴EG=FG，即G為EF的中點(diǎn)。
∴EF=2AG=2（直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)等于斜邊長(zhǎng)的一半）。
設(shè)BE=DF=x，則AE=3﹣x，AF=3+x，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE²+AF²=EF²，即（3﹣x）²+（3+x）²=（2）²。
解得x=1，即BE=DF=1。∴AE=2，AF=4。∴tan∠F=。
設(shè)EF與CD交于點(diǎn)K，則在Rt△DFK中，DK=DF•tan∠F=，
∴CK=CD﹣DK=。
∵AB∥CD，∴△AEH≌△CKH，∴。
∵AC=AH+CH=3，∴AH=AC=。
過點(diǎn)H作HN∥AE，交AD于點(diǎn)N，則△ANH為等腰直角三角形，
∴AN=AH=。
∵HN∥AE，∴，即。∴EH=。
②點(diǎn)E在線段AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在線段AD上，依題意畫出圖形，如圖所示，

同理可求得：EH=。
綜上所述，線段EH的長(zhǎng)為或。