Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y=﹣x+3與拋物線交于A、B兩點，點A在x軸上，點B的橫坐標為．動點P在拋物線上運動（不與點A、B重合），過點P作y軸的平行線，交直線AB于點Q．當PQ不與y軸重合時，以PQ為邊作正方形PQMN，使MN與y軸在PQ的同側，連結PM．設點P的橫坐標為m．

（1）求b、c的值．

（2）當點N落在直線AB上時，直接寫出m的取值范圍．

（3）當點P在A、B兩點之間的拋物線上運動時，設正方形PQMN的周長為C，求C與m之間的函數關系式，并寫出C隨m增大而增大時m的取值范圍．

（4）當△PQM與坐標軸有2個公共點時，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）m＜﹣或0＜m＜3；（3）C=﹣2（m﹣）2+，﹣＜m＜且m≠0；（4）m＜﹣.

【解析】試題分析：（1）先確定出點A，B的坐標，最后用待定系數法即可得出結論。

（2）點P在拋物線上，點Q在直線y=﹣x+3上，點N在直線AB上，設出點P的坐標，再表示出Q、N的坐標，即可得出PN=PQ，再用MN與y軸在PQ的同側，建立不等式即可得出結論。

（3）點P在點A，B之間的拋物線上，根據（2）可知PQ的長，設正方形PQMN的周長為C，根據C=4PQ，建立C與m的函數關系式，求出其頂點坐標，根據二次函數的性質，即可求得結論。

（4）分兩種情況討論計算即可求出結論。

（1）解：∵直線y=﹣x+3與x軸相交于點A，

∴A（3，0），

∵點B在直線y=﹣x+3上，且B的橫坐標為﹣ ，

∴B（﹣ ， ），

∵A，B在拋物線上，

∴ ，

∴

（2）解：方法1、由（1）知，b= ，c= ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+ ，

設P（m，﹣ m2+ m+ ），

∵點Q在直線y=﹣x+3上，

∴Q（m，﹣m+3），

∵點N在直線AB上，

∴N（（ m2﹣ m﹣ ），（﹣ m2+ m+ ）），

∴PN=| m2﹣ m﹣ ﹣m|=| m2﹣ m﹣ |

∴PQ=|﹣ m2+ m+ ﹣（﹣m+3）|=|﹣ m2+ m+ |，

∵四邊形PQMN時正方形，

∴PN=PQ，

∴| m2﹣ m﹣ |=|﹣ m2+ m+ |，此時等式恒成立，

當m＜0且m≠﹣ 時，

∵MN與y軸在PQ的同側，

∴點N在點P右側，

∴ m2﹣ m﹣ ＞m，

∴m＜﹣ ，

當m＞0且m≠3時，

∵MN與y軸在PQ的同側，

∴點P在點N的右側，

∴ m2﹣ m﹣ ＜m，

∴﹣ ＜m＜3，

∴0＜m＜3，

即：m的范圍為m＜﹣ 或0＜m＜3；

方法2、如圖，

記直線AB與y軸的交點為D，

∵直線AB的解析式為y=﹣x+3，

∴D（0，3），

∴OD=3，

∵A（3，0），

∴OA=3，

∴OA=OB，

∴∠ODA=45°，

∵PQ∥y軸，

∴∠PQB=45°，

記：直線PN交直線AB于N'，

∵四邊形PQMN是正方形，

∴∠QPN=90°，

∴∠PN'Q=45°=∠PQN'，

∴PQ=PN'，

∵四邊形PQMN是正方形，

∴PQ=PN，

點N在點P的左側時，點N'都在直線AB上，

∵MN與y軸在PQ的同側，

∴m的范圍為m＜﹣ 或0＜m＜3

（3）解：由（1）知，b= ，c= ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+ ，

設P（m，﹣ m2+ m+ ），

∵點Q在直線y=﹣x+3上，

∴Q（m，﹣m+3），

∴PQ=|﹣ m2+ m+ ﹣（﹣m+3）|=|﹣ m2+ m+ |，

∵點P在點A，B之間的拋物線上，

∴PQ=﹣ m2+ m+ ，（﹣ ＜m＜3且m≠0），

∵設正方形PQMN的周長為C，

∴C=4PQ=4（﹣ m2+ m+ ）=﹣2m2+ m+2=﹣2（m﹣ ）2+ ，

∵C隨m增大而增大，

∴m＜ ，

∴﹣ ＜m＜ 且m≠0

（4）解：當△PQM與坐標軸有2個公共點時，

∴m＜0或0＜m＜3

當0＜m＜3，PN＞yP ，

由（2）知，P（m，﹣ m2+ m+ ），PQ=|﹣ m2+ m+ |=﹣ m2+ m+

∵四邊形PQMN是正方形，

∴PN=PQ=﹣ m2+ m+ ＞﹣ m2+ m+ ，

∴m＞3，所以，此種情況不符合題意；

當m＜0時，PN＞yP ，

∵PQ= m2﹣ m﹣ ，

∵四邊形PQMN是正方形，

∴PN=PQ= m2﹣ m﹣ ＞﹣ m2+ m+ ，

∴m＞3（舍）或m＜﹣ ，

即：當△PQM與坐標軸有2個公共點時，m＜﹣ .