Question

【題目】已知直線l的極坐標方程為ρsin（θ+ ）= ，圓C的參數方程為： （其中θ為參數）．
（1）判斷直線l與圓C的位置關系；
（2）若橢圓的參數方程為 （φ為參數），過圓C的圓心且與直線l垂直的直線l′與橢圓相交于A，B兩點，求|AB|．

Answer 1

【答案】
（1）解：將直線l的極坐標方程 ，化為直角坐標方程：x+y﹣1=0．

將圓C的參數方程化為普通方程：x2+（y+2）2=4，圓心為C（0，﹣2），半徑r=2．

∴圓心C到直線l的距離為d= ＞r=2，

∴直線l與圓C相離．

（2）解：將橢圓的參數方程化為普通方程為 ，

∵直線l：x+y﹣1=0的斜率為k1=﹣1，

∴直線l'的斜率為k2=1，即傾斜角為 ，

則直線l'的參數方程為 ，（t為參數），

即 （t為參數），

把直線l'的參數方程 代入 ，

整理得7t2﹣16 t+8=0．（*）

由于△=（﹣16 ）2﹣4×7×8＞0，

故可設t1，t2是方程（*）的兩個不等實根，則有t1t2= ， ，

|AB|=

【解析】（1）將直線l的極坐標方程化為直角坐標方程，將圓C的參數方程化為普通方程，求出圓心C到直線l的距離，由此得到直線l與圓C相離．（2）將橢圓的參數方程化為普通方程為 ，求出直線l'的參數方程，把直線l'的參數方程代入橢圓的普通方程，得7t2﹣16 t+8=0，由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式能求出|AB|．