Question

（2013年四川眉山11分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B在x軸上，點(diǎn)C、D在y軸上，且OB=OC=3，OA=OD=1，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，直線AD與拋物線交于另一點(diǎn)M．

（1）求這條拋物線的解析式；
（2）P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，E為直線AD上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)A、P、E為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）請(qǐng)直接寫出將該拋物線沿射線AD方向平移個(gè)單位后得到的拋物線的解析式．

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意得，A（1，0），D（0，1），B（﹣3，0），C（0，﹣3），
∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴，解得。
∴拋物線的解析式為：y=x²+2x﹣3。
（2）存在。△APE為等腰直角三角形，有三種可能的情形：
①以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，
如圖，過(guò)點(diǎn)A作直線AD的垂線，與拋物線交于點(diǎn)P，與y軸交于點(diǎn)F。

∵OA=OD=1，∴△AOD為等腰直角三角形。
∵PA⊥AD，∴△OAF為等腰直角三角形。
∴OF=1，F(xiàn)（0，﹣1）。
設(shè)直線PA的解析式為y=kx+b，
將點(diǎn)A（1，0），F(xiàn)（0，﹣1）的坐標(biāo)代入得：
，解得。
∴直線PA的解析式為y=x﹣1。
將y=x﹣1代入拋物線解析式y(tǒng)=x²+2x﹣3得
x²+2x﹣3=x﹣1，整理得：x²+x﹣2=0，
解得x=﹣2或x=1。
當(dāng)x=﹣2時(shí)，y=x﹣1=﹣3。∴P（﹣2，﹣3）。
②以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，
此時(shí)∠PAE=45°，因此點(diǎn)P只能在x軸上或過(guò)點(diǎn)A與y軸平行的直線上。
過(guò)點(diǎn)A與y軸平行的直線，只有點(diǎn)A一個(gè)交點(diǎn)，故此種情形不存在；
因此點(diǎn)P只能在x軸上，而拋物線與x軸交點(diǎn)只有點(diǎn)A、點(diǎn)B，故點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，
∴P（﹣3，0）。
③以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)，
此時(shí)∠EAP=45°，由②可知，此時(shí)點(diǎn)P只能與點(diǎn)B重合，點(diǎn)E位于直線AD與對(duì)稱軸的交點(diǎn)上。
綜上所述，存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)A、P、E為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形。
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，﹣3）或（﹣3，0）。
（3）y==x²+4x+1。

（1）應(yīng)用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式。
（2）△APE為等腰直角三角形，有三種可能的情形，需要分類討論：
①以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)A作直線AD的垂線，與拋物線的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P．首先求出直線PA的解析式，然后聯(lián)立拋物線與直線PA的解析式，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)．此時(shí)點(diǎn)P只能與點(diǎn)B重合；
③以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)．此時(shí)點(diǎn)P亦只能與點(diǎn)B重合。
（3）拋物線的解析式為：y=x²+2x﹣3=（x+1）²﹣4，
∵拋物線沿射線AD方向平移個(gè)單位，相當(dāng)于向左平移1個(gè)單位，并向上平移一個(gè)單位，
∴平移后的拋物線的解析式為：y=（x+1+1）²﹣4+1=x²+4x+1。