Question

如圖，拋物線與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點C，拋物線的對稱軸與x軸相交于點M．P是拋物線在x軸上方的一個動點（點P、M、C不在同一條直線上）．分別過點A、B作直線CP的垂線，垂足分別為D、E，連接點MD、ME．

（1）求點A，B的坐標（直接寫出結果），并證明△MDE是等腰三角形；
（2）△MDE能否為等腰直角三角形？若能，求此時點P的坐標；若不能，說明理由；
（3）若將“P是拋物線在x軸上方的一個動點（點P、M、C不在同一條直線上）”改為“P是拋物線在x軸下方的一個動點”，其他條件不變，△MDE能否為等腰直角三角形？若能，求此時點P的坐標（直接寫出結果）；若不能，說明理由．

Answer 1

（1）A（1，0），B（5，0），證明見解析
（2）△MDE能成為等腰直角三角形，此時點P坐標為（，3）
（3）能。此時點P坐標為（，）。

試題分析：（1）在拋物線解析式中，令y=0，解一元二次方程，可求得點A、點B的坐標。如答圖1所示，作輔助線，構造全等三角形△AMF≌△BME，得到點M為為Rt△EDF斜邊EF的中點，從而得到MD=ME，問題得證。
在中，令y=0，即﹣，解得x=1或x=5，
∴A（1，0），B（5，0）。
如答圖1所示，分別延長AD與EM，交于點F，

∵AD⊥PC，BE⊥PC，∴AD∥BE。∴∠MAF=∠MBE。
在△AMF與△BME中，
∵∠MAF=∠MBE，MA=MB，∠AMF=∠BME，
∴△AMF≌△BME（ASA）。
∴ME=MF，即點M為Rt△EDF斜邊EF的中點。
∴MD=ME，即△MDE是等腰三角形。
（2）首先分析，若△MDE為等腰直角三角形，直角頂點只能是點M。如答圖2所示，設直線PC與對稱軸交于點N，證明△ADM≌△NEM，得到MN=AM，從而求得點N坐標為（3，2）；利用點N、點C坐標，求出直線PC的解析式；最后聯立直線PC與拋物線的解析式，求出點P的坐標。
能。
∵，∴拋物線的對稱軸是直線x=3，M（3，0）
令x=0，得y=﹣4，∴C（0，﹣4）。
△MDE為等腰直角三角形，有3種可能的情形：
①若DE⊥EM，
由DE⊥BE，可知點E、M、B在一條直線上，而點B、M在x軸上，因此點E必然在x軸上。
由DE⊥BE，可知點E只能與點O重合，即直線PC與y軸重合，不符合題意。
故此種情況不存在。
②若DE⊥DM，與①同理可知，此種情況不存在。
③若EM⊥DM，如答圖2所示，

設直線PC與對稱軸交于點N，
∵EM⊥DM，MN⊥AM，∴∠EMN=∠DMA。
在△ADM與△NEM中，
∵∠DMA =∠EMN，DM = EM，∠ADM=∠NEM=135°，
∴△ADM≌△NEM（ASA）。∴MN=MA。
∵M（3，0），MN=MA=2，∴N（3，2）。
設直線PC解析式為y=kx+b，
∵點N（3，2），C（0，﹣4）在拋物線上，
∴，解得。
∴直線PC解析式為y=2x﹣4。
將y=2x﹣4代入拋物線解析式得： ，解得：x=0或x=。
當x=0時，交點為點C；當x=時，y=2x﹣4=3。
∴P（，3）。
綜上所述，△MDE能成為等腰直角三角形，此時點P坐標為（，3）。
（3）當點P是拋物線在x軸下方的一個動點時，解題思路與（2）完全相同：
如答題3所示，設對稱軸與直線PC交于點N，

與（2）同理，可知若△MDE為等腰直角三角形，直角頂點只能是點M。
∵MD⊥ME，MA⊥MN，∴∠DMN=∠EMB。
在△DMN與△EMB中，
∵∠SMN =∠EMB，DM = EM，∠MDN=∠MEB=45°，
∴△DMN≌△EMB（ASA）。∴MN=MB。∴N（3，﹣2）。
設直線PC解析式為y=kx+b，
∵點N（3，﹣2），C（0，﹣4）在拋物線上，
∴，解得。
∴直線PC解析式為y=x﹣4。
將y=x﹣4代入拋物線解析式得：，解得：x=0或x=。
當x=0時，交點為點C；當x=時，y=x﹣4=。∴P（，）。
綜上所述，△MDE能成為等腰直角三角形，此時點P坐標為（，）。