Question

【題目】如圖，AB、CD是⊙O的直徑，P為上一個動點(不與B、C重合)，PM、PN分別垂直CD、AB，垂足分別為點M、N.若∠AOC=60°，OA=4，則MN的長為________.

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖所示，延長PN交圓于點E，延長PM交圓于點F，連接EF、OE、OF，作OH⊥EF于H．根據垂徑定理，PN=NE，PM=MF，推出MN∥EF且MN=EF，由∠MON=120°，∠PNO=∠PMO=90°，推出∠P=60°，推出弦EF的長為定值，

解：
如圖所示，延長PN交圓于點E，延長PM交圓于點F，連接EF、OE、OF，作OH⊥EF于H．根據垂徑定理，PN=NE，PM=MF，
∴MN∥EF且MN=EF，
∵∠MON=120°，∠PNO=∠PMO=90°，
∴∠P=60°，
∴弦EF的長為定值，MN的長也為定值，
在Rt△EOH中，易知∠EOH=60°，∵OE=OA=4，
∴EH=OEsin60°=，
∴EF=4，
∴MN=EF=2，
故答案為2．